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Théorie des groupes
2) Les groupes K et N jouent le même rôle, et la suite,
j
q
e-K-N x K- N-e
avec définition similaire de j et q, est également exacte.
3.3.3 1) Montrons l'associativité :
( (n, k) * (n' , k')) * (n", k
11
)
= (n(k.n'), kk') * (n
11
, k")
= (n(k.n')(kk' .n"), (kk')k")
= (n(k.n')(k .(k' .n")), kk' k
11
)
(n, k) * ( (n', k') * (n", k
11
))
= (n, k) * (n'(k' .n"), k' k
11
)
= (nk.(n'(k
1
.n
11
)), k k'k
11
)
= (n(k.n')(k.(k' .n")), kk' k")
Pour bien comprendre la fin du calcul, rappelons-nous que l'action est une action par morphismes, et donc k.(ab) = (k.a)(k.b). Ici, k.(n'(k
1
.n
11
)) = (k.n
1
)(k.(k
1
.n
11
)) et l'associativité
est démontrée.
(n, k) * (1, 1) = (nk. 1,k) = (n, k) (1, 1) * (n, k) = (l .n, k) = (n, k)
en remarquant que la première égalité est due à ce que c'est une action par morphismes,
donc k.l = 1, la seconde à ce que c'est une action, et 1.k = k. Enfin on vérifiera que
(n, k)1
= (k1
.n1
,k1
) .
2) Il faut d'abord vérifier que i et p sont des morphismes :
i(n) * i(n
1 ) = (n, 1) * (n', 1) = (nl .n' , 1) = (nn' , 1) = i(nn' )
p((n, k) * (n' , k')) = p(nk.n' , kk
1
) = kk' = p(n, k)p(n' , k' )
Et le noyau de i est bien N, tandis que p est bien surjective, tout k E K est l'image de
(1, k). Enfin, Kerp est formé des couples (n, 1), c'est bien l'image de i.
3) La loi est alors la loi habituelle du produit direct.
3.3.4 Si l'on se donne une action différente de l'identité de Z/2 sur Z/n, (l) doit être un
automorphisme d'ordre 2. On sait que les automorphismes de '11,/n sont donnés par x f--+ kx
ou, en notation multiplicative, x f--+ :x!', avec k premier à n. Il faut donc k
2
= 1 (mod n), ce
qui sera toujours satisfait pour k = -1. Considérons alors le produit semi-direct
G = Z/n �cl> Z/2
En notant r un générateur de '11,/n et O' un générateur de '71,/2, et en identifiant r avec (r, 1) et
O" avec (1, O" ), on aura :
r"O' = (r", 1)(1, O') = (r", O')
mais également :
O"r-P = (1, O')(r-P, 1) = (O".r-P, O') = (r", O')
On a donc rPO" = O"r-P reconnaît les générateurs et règles de calcul du groupe diédral, et l'on
conclut en disant que les deux groupes ont le même nombre d'éléments.
]IJ)2,, '?:! Z/n �cl> Z/2
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