3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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Pour terminer, signalons que notre construction fonctionne mutatis mutandis dans le cas du
groupe diédral infini :
][)) oo 'i:!t Z ><1<1> Z/2
3.3.5 1) L'image N de i est aussi le noyau de pet c'est donc un sous-groupe normal de G.
Le groupe /C est lui-même un sous-groupe de G isomorphe à K, la loi de G permet en effet
d'écrire:
(I ,k)(I ,k' ) = (I ,kk' )
Comme N est formé de couples de la forme (n, 1) tandis que /C est formé de couples (1, k),
leur intersection est réduite au neutre de G. Enfin, la loi de G permet également de voir
que:
(n, 1)(1, k) = (n, k)
ce qui prouve G = NIC. Comme K et /C sont isomorphes, de même que N et N, on
procédera souvent à l'identification de (n, 1) avec net de (1, k) avec k.
2) En utilisant la loi de G :
(l ,k)(n, 1)(1,k1 ) = (k .n, 1)(1,k1 ) = (k .n, 1)
Avec les identifications :
knk1
= k. n
3) Les hypothèses étant:
N NnK =e
G= NK
on définit une application :
IJ, : (n, k) 1--t nk
du produit semi-direct N ><1<1> K dans G. C'est un morphisme:
IJ, ( (n, k)(n', k')) = IJ,(nk.n', kk')
= IJ,(nkn'k1
, kk')
= nkn'k1
kk'
= nkn'k'
= IJ,(n, k)IJ,(n' k')
Il est surjectif par hypothèse, et injectif car son noyau est formé des (n, k) tels que nk = 1,
et cette égalité implique n = k1
E N n K = {l}. Donc n = k = 1. Nous laissons toutes
les autres vérifications au lecteur. Remarquons néanmoins que l'on a obtenu l'unicité de
l'écriture sous la forme nk.
4) Pour que le produit semi-direct se réduise à un produit direct, il faut et suffit que k.n =
knk1
= n pour tout k et n, autrement dit, tout élément de K commute à tout élément
de N. Montrons que cela équivaut à K alors nkn1
k1
= (nkn1
)k1
est le produit de deux éléments de K donc est dans K.
On voit de même que cet élément est dans N, donc dans N n K donc est 1, ce qui
montre la commutativité. Réciproquement, soit g = nk E G. Alors gKg1
= K puisque
nkk'k1
n1
= kk'k1
E K, et K est normal dans G comme déjà N.
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