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Théorie des groupes
5) Pour que G soit commutatif, il est d'abord nécessaire que Net K le soient, puisqu'ils sont
isomorphes à des sous-groupes de G. De plus :
(n, 1)(1, h) = (n, h)
(1, h)(n, 1) = (h. n, h)
prouve que les deux éléments commutent ssi l'action est triviale. Le produit doit donc
être direct. Cela montre que la structure de produit semi-direct permet de fabriquer très
facilement des groupes non commutatifs.
6) Soit G = S,,, N = A,, et K = ((1, 2)) le groupe à deux éléments engendré par une transposition. Alors N n K = { e} et NK = G puisque N est d'indice 2 et ne contient pas (1, 2).
Conclusion, le groupe symétrique est un produit semi-direct.
3.3.6 1) Les seuls automorphismes de Z/3 sont donnés par x f-+ x et x f-+ x- 1 • L' application
x f-+ y.x = x- 1 est donc bien un automorphisme. Par ailleurs, y
2
.x = y.(y.x) = y.x2
= x
donc y
2
agit comme l'identité. Enfin y
3
.x = y.x; on a donc défini une action, non fidèle, de
Z/4 sur Z/3.
2) Ce produit semi-direct est un groupe dont les éléments s'écrivent (x
e
,I) = x
e
l par abus
de notation, en notant y un générateur de Z/4 et x un générateur de Z/3 ; il n'est pas
commutatif car yxy1
= y.x = x- 1 • Une façon, un peu laborieuse, de montrer qu'il n'est
pas isomorphe à ID> 12 , ni à A4 est d'examiner l'ordre de ses éléments. On constate que ce
groupe a un seul élément d'ordre 2, (1,y
2
) = y
2
, deux d'ordre 3, six d'ordre 4 et deux
d'ordre 6. On pourra vérifier ces affirmations en faisant les calculs comme celui-ci :
(x
2
y)
2
= x
2
y.x
2
y
2
= x
2
x2
y
2
= y
2
et donc x
2
y est d'ordre 4. Dans ce cas, le produit semi-direct Z/3 >4ct, Z/4 n'est donc pas
isomorphe à ID> 12 , qui a huit éléments d'ordre 2, ni à À4 qui en a trois.
Pour conclure, si l'on considère le groupe de présentation :
G = (x,y I x
3
= y
4
= 1, yxy - 1 = x1 )
alors ce groupe a, au plus, douze éléments qui sont de la forme x!'/ ' où O � k � 2 et
0 � k' � 3. En effet, la relation yx = x
2
y permet toujours de se ramener à cette forme. On
conclut, par le théorème de Von Dyck que notre produit semi-direct est bien G.
3) Il suffit de définir l'isomorphisme par l'image des générateurs x f-+ B et y f-+ A. Les deux
matrices sont bien d'ordres respectifs 3 et 4 et vérifient la relation ABA -
1
= B- 1 • Enfin,
T est bien un groupe dicyclique. Trouvons un élément d'ordre 6, z = xy
2
convient. Alors
z
6
= y
4
= (yz)
4
= 1 on reconnaît une des présentations d'un groupe dicyclique.
3.3.7 1) Soit un morphisme d'un groupe G dans un groupe H; si G est engendré par un
élément x, alors on peut choisir pour (x) un élément quelconque de H, sera déterminé
car, nécessairement, (x!') = (xf Tout choix de (x) convient.
2) Il suffit que soit surjective pour être bijective (ensembles finis). Ainsi, comme l'image de
est engendrée par (x), celui-ci doit être un générateur de Z/n, c'est-à-dire un inversible
de l'anneau Z/n. Il y a donc (n) automorphismes de Z/n. Si x est un générateur, un
morphisme sera déterminé par r premier à net x f-+ rx (en notation additive) ou x f-+ x'"
(en notation multiplicative).
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5) Pour que G soit commutatif, il est d'abord nécessaire que Net K le soient, puisqu'ils sont
isomorphes à des sous-groupes de G. De plus :
(n, 1)(1, h) = (n, h)
(1, h)(n, 1) = (h. n, h)
prouve que les deux éléments commutent ssi l'action est triviale. Le produit doit donc
être direct. Cela montre que la structure de produit semi-direct permet de fabriquer très
facilement des groupes non commutatifs.
6) Soit G = S,,, N = A,, et K = ((1, 2)) le groupe à deux éléments engendré par une transposition. Alors N n K = { e} et NK = G puisque N est d'indice 2 et ne contient pas (1, 2).
Conclusion, le groupe symétrique est un produit semi-direct.
3.3.6 1) Les seuls automorphismes de Z/3 sont donnés par x f-+ x et x f-+ x- 1 • L' application
x f-+ y.x = x- 1 est donc bien un automorphisme. Par ailleurs, y
2
.x = y.(y.x) = y.x2
= x
donc y
2
agit comme l'identité. Enfin y
3
.x = y.x; on a donc défini une action, non fidèle, de
Z/4 sur Z/3.
2) Ce produit semi-direct est un groupe dont les éléments s'écrivent (x
e
,I) = x
e
l par abus
de notation, en notant y un générateur de Z/4 et x un générateur de Z/3 ; il n'est pas
commutatif car yxy1
= y.x = x- 1 • Une façon, un peu laborieuse, de montrer qu'il n'est
pas isomorphe à ID> 12 , ni à A4 est d'examiner l'ordre de ses éléments. On constate que ce
groupe a un seul élément d'ordre 2, (1,y
2
) = y
2
, deux d'ordre 3, six d'ordre 4 et deux
d'ordre 6. On pourra vérifier ces affirmations en faisant les calculs comme celui-ci :
(x
2
y)
2
= x
2
y.x
2
y
2
= x
2
x2
y
2
= y
2
et donc x
2
y est d'ordre 4. Dans ce cas, le produit semi-direct Z/3 >4ct, Z/4 n'est donc pas
isomorphe à ID> 12 , qui a huit éléments d'ordre 2, ni à À4 qui en a trois.
Pour conclure, si l'on considère le groupe de présentation :
G = (x,y I x
3
= y
4
= 1, yxy - 1 = x1 )
alors ce groupe a, au plus, douze éléments qui sont de la forme x!'/ ' où O � k � 2 et
0 � k' � 3. En effet, la relation yx = x
2
y permet toujours de se ramener à cette forme. On
conclut, par le théorème de Von Dyck que notre produit semi-direct est bien G.
3) Il suffit de définir l'isomorphisme par l'image des générateurs x f-+ B et y f-+ A. Les deux
matrices sont bien d'ordres respectifs 3 et 4 et vérifient la relation ABA -
1
= B- 1 • Enfin,
T est bien un groupe dicyclique. Trouvons un élément d'ordre 6, z = xy
2
convient. Alors
z
6
= y
4
= (yz)
4
= 1 on reconnaît une des présentations d'un groupe dicyclique.
3.3.7 1) Soit un morphisme d'un groupe G dans un groupe H; si G est engendré par un
élément x, alors on peut choisir pour (x) un élément quelconque de H, sera déterminé
car, nécessairement, (x!') = (xf Tout choix de (x) convient.
2) Il suffit que soit surjective pour être bijective (ensembles finis). Ainsi, comme l'image de
est engendrée par (x), celui-ci doit être un générateur de Z/n, c'est-à-dire un inversible
de l'anneau Z/n. Il y a donc (n) automorphismes de Z/n. Si x est un générateur, un
morphisme sera déterminé par r premier à net x f-+ rx (en notation additive) ou x f-+ x'"
(en notation multiplicative).
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