3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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3.3.8 1) Le seul automorphisme de S 2 est l'identité. Pour S 3 , les automorphismes sont plus
nombreux : comme les trois transpositions sont génératrices, il suffit de déterminer leur
image, qui est d'ordre deux, donc une transposition. On vérifie facilement que cela permet
de définir six automorphismes de S 3 , mais cela résulte également de la question suivante.
De même, il y a 24 automorphismes de S4.
2) Il suffit d'utiliser que le centre de S 11 est réduit au neutre dès que n > 2, et donc
Int{G) 91 G; voir le premier problème du chapitre 1.
3) Commençons par remarquer que :
• un automorphisme transforme un élément d'ordre deux en un élément d'ordre deux ;
• un automorphisme intérieur transforme un cycle en un cycle de même longueur, donc
une transposition en une transposition.
Soit donc qui transforme toute transposition en une transposition. En particulier,
(l, 2) = (a 1 , a2) où a 1 et a 2 sont des entiers distincts. De la même façon, l'image de
(1, 3) est une transposition ; ce ne peut être la transposition de deux éléments distincts
de a 1 et a 2 , sinon les images de (1, 2) et de (1, 3) commuteraient, ce qui n'est pas le
cas de (1,2) et (1, 3). On a donc (l, 3) = (a 1 ,a 3 ) par exemple (puisque a 1 et a 2 jouent
encore le même rôle), avec a 3 distinct des précédents ( est bijective). Passons à (l,4).
Il faut que cette transposition ait un élément commun avec les deux précédentes, d'où
(l ,4) = (a i , a4) ou (l,4) = (a 2 , a 3 ). Mais ce dernier cas est exclu, car (1, 2)(1, 3)(1,4)
est un 4-cycle alors que (a 1 , a2)(a1 , a 3 )(a 2 , a 3 ) est une transposition. On en déduit de
même que (l, i) = (a i , a;). Comme les a; sont distincts, on a fabriqué une permutation,
et
a o (1, i) o a1
= (a 1 , a;)
prouve que coïncide avec l'automorphisme intérieur défini par a sur toutes les transpositions (1, i) donc sur tout le groupe S 11 •
4) L'image par un automorphisme d'une transposition est nécessairement un élément
d'ordre deux, et comme les transpositions sont conjuguées, on ne peut arriver que dans
une même classe de conjugaison. Comme est bijectif, on obtient toute cette classe de
conjugaison. Il faut donc examiner s'il est possible qu'il y ait bijection entre l'ensemble
des transpositions, et l'ensemble des doubles transpositions, des triples transpositions ... or
ces ensembles sont de cardinaux respectifs :
n(n - 1)
4!
4
2
212121
c 11
(2k) ! 2k
(2 !) k k!
C I i
On a appliqué le « principe du berger » pour ce dénombrement ; on part d'un ensemble de
2k entiers, on considère toutes ses permutations, et, en regroupant deux éléments consécutifs, on obtient k transpositions de supports disjoints. Mais il faut diviser par k! car l'ordre
n'importe pas, et k fois par 2! car les deux éléments d'une transposition jouent le même
rôle. Ce nombre est égal à
11<11
2
1> ssi
(n - 2)(n - 4) ... (n - 2k + 1) = k!2
k
- l
après simplifications. On utilise d'abord que n ;;:,: 2k pour minorer le premier membre
par (2k - 2) !. Mais on montre par récurrence que (2k - 2) ! > k!2
k
-I dès qu� k > 4.
Il y a, en revanche, égalité lorsque k = 3, et donc en prenant n = 6, on voit qu'il y a
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