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Th éorie des groupes
autant de transpositions que de triples transpositions. Reste à voir k = 2 ou k = 3, mais le
second membre de l'égalité ci-dessus est constant, le premier croît avec n, ce qui permet
rapidement de prouver qu'il n'y a pas d'autre possibilité.
Conclusion. Sauf pour n = 6 et n = 2, le groupe des automorphismes de S,, est isomorphe
à S,,. Comme son centre est trivial, c'est bien un groupe complet.
5) On retrouve la situation étudiée dans l'exercice 3.2.11 : Si H est un sous-groupe d'indice n
dans S,, , l'action par translation de S,, sur le quotient S,, est fidèle, donc S,, est isomorphe
à un sous-groupe de S,, , donc à lui-même. Dans cet isomorphisme, l'image de H est un
stabilisateur (celui de H) ; si donc H n'est pas le stabilisateur d'un entier, il a une image
qui n'est pas un sous-groupe conjugué, et donc l'isomorphisme n'est pas intérieur. On en
déduit qu'un tel H ne peut exister que si n= 6.
6) Il n'est pas très aisé de montrer que S6 est bien une exception. Nous nous contenterons
de donner un exemple d'automorphisme non intérieur
1
, en demandant au lecteur de faire
les vérifications. Il suffit de définir les images des cinq transpositions (1, 2), (1, 3), ... ,
(1,6). Ces images doivent être des triples transpositions, comme (1, 2)(3 ,4)(5, 6). Il y a
au moins une restriction, puisque le produit de deux transpositions (1, i)( l ,j) est un 3cycle, il est nécessaire que leurs images aient le même ordre. Or, quand on considère deux
triples transpositions, il n'y a que deux cas, soit elles ont un cycle en commun, et leur
composé est une double transposition (ou l'identité), soit elles n'ont aucun cycle commun,
et leur composé est le produit de deux 3-cycles de supports disjoints. C'est ce dernier cas
qui convient. Il suffit de constater qu'on peut trouver cinq triples transpositions ayant la
propriété de n'avoir aucun cycle commun deux à deux. Par exemple :
(1,2)(3,4)(5,6) (1,3)(2, 5)(4, 6) (1,4)(2, 6)(3,5) (1,5)(2, 4)(3,6) (1, 6)(2, 3)(4, 5)
et l'on peut vérifier ... avec un bon logiciel, que les 5 ! applications envoyant les (1, i) sur
une de ces triples transpositions donnent un automorphisme extérieur. Au total, il y aura 6 !
automorphismes extérieurs, autant que d'intérieurs. Il y a des justifications plus convaincantes, et souvent géométriques, de l'existence d'automorphismes extérieurs dans S 6 ; voir
[21] ou [15].
3.3.9 Nous ne faisons que généraliser ce qui a été vu dans les exercices précédents. Il s'agit
de trouver un morphisme de '7l../m dans le groupe des automorphismes de '7l../n. On doit donc
associer à un générateur de '7l../m, noté y, un entier r premier à n, et l'action sera y.x = x' ,
en notation multiplicative. Mais il faut que l'on ait une action de groupe, et donc que le
morphisme (y) associé à y soit d'ordre m; or :
x = (y) o ... (y)(x) = (y)
"'
(x) = y " .x = x'"'
et donc que r' " = 1 (mod n). Remarquons que cette congruence implique r premier à n.
• Dans le cas m = 2. Il s'agit de trouver r tel que r
2
= 1 (mod n). Une solution évidente est
r = -1. L'action est donnée par y.x = x1
; et l'on a:
x' = 1, y
2
= 1, yxy1
= x1
1. Un tel automorphisme est appelé automorphisme extérieur.
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Th éorie des groupes
autant de transpositions que de triples transpositions. Reste à voir k = 2 ou k = 3, mais le
second membre de l'égalité ci-dessus est constant, le premier croît avec n, ce qui permet
rapidement de prouver qu'il n'y a pas d'autre possibilité.
Conclusion. Sauf pour n = 6 et n = 2, le groupe des automorphismes de S,, est isomorphe
à S,,. Comme son centre est trivial, c'est bien un groupe complet.
5) On retrouve la situation étudiée dans l'exercice 3.2.11 : Si H est un sous-groupe d'indice n
dans S,, , l'action par translation de S,, sur le quotient S,, est fidèle, donc S,, est isomorphe
à un sous-groupe de S,, , donc à lui-même. Dans cet isomorphisme, l'image de H est un
stabilisateur (celui de H) ; si donc H n'est pas le stabilisateur d'un entier, il a une image
qui n'est pas un sous-groupe conjugué, et donc l'isomorphisme n'est pas intérieur. On en
déduit qu'un tel H ne peut exister que si n= 6.
6) Il n'est pas très aisé de montrer que S6 est bien une exception. Nous nous contenterons
de donner un exemple d'automorphisme non intérieur
1
, en demandant au lecteur de faire
les vérifications. Il suffit de définir les images des cinq transpositions (1, 2), (1, 3), ... ,
(1,6). Ces images doivent être des triples transpositions, comme (1, 2)(3 ,4)(5, 6). Il y a
au moins une restriction, puisque le produit de deux transpositions (1, i)( l ,j) est un 3cycle, il est nécessaire que leurs images aient le même ordre. Or, quand on considère deux
triples transpositions, il n'y a que deux cas, soit elles ont un cycle en commun, et leur
composé est une double transposition (ou l'identité), soit elles n'ont aucun cycle commun,
et leur composé est le produit de deux 3-cycles de supports disjoints. C'est ce dernier cas
qui convient. Il suffit de constater qu'on peut trouver cinq triples transpositions ayant la
propriété de n'avoir aucun cycle commun deux à deux. Par exemple :
(1,2)(3,4)(5,6) (1,3)(2, 5)(4, 6) (1,4)(2, 6)(3,5) (1,5)(2, 4)(3,6) (1, 6)(2, 3)(4, 5)
et l'on peut vérifier ... avec un bon logiciel, que les 5 ! applications envoyant les (1, i) sur
une de ces triples transpositions donnent un automorphisme extérieur. Au total, il y aura 6 !
automorphismes extérieurs, autant que d'intérieurs. Il y a des justifications plus convaincantes, et souvent géométriques, de l'existence d'automorphismes extérieurs dans S 6 ; voir
[21] ou [15].
3.3.9 Nous ne faisons que généraliser ce qui a été vu dans les exercices précédents. Il s'agit
de trouver un morphisme de '7l../m dans le groupe des automorphismes de '7l../n. On doit donc
associer à un générateur de '7l../m, noté y, un entier r premier à n, et l'action sera y.x = x' ,
en notation multiplicative. Mais il faut que l'on ait une action de groupe, et donc que le
morphisme (y) associé à y soit d'ordre m; or :
x = (y) o ... (y)(x) = (y)
"'
(x) = y " .x = x'"'
et donc que r' " = 1 (mod n). Remarquons que cette congruence implique r premier à n.
• Dans le cas m = 2. Il s'agit de trouver r tel que r
2
= 1 (mod n). Une solution évidente est
r = -1. L'action est donnée par y.x = x1
; et l'on a:
x' = 1, y
2
= 1, yxy1
= x1
1. Un tel automorphisme est appelé automorphisme extérieur.
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