3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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et comme le groupe a 2n éléments, c'est le groupe diédral lD>211 • Notre produit semi-direct
a en général la présentation :
G = (x' = 1, y'" = 1, yxy1
= x")
Un tel groupe fait partie des groupes métacycliques. On appelle ainsi un groupe qui a un
sous-groupe normal cyclique, ici isomorphe à Z/n avec un quotient cyclique, isomorphe
à Z/m. Pour le cas m = 2, hormis les groupes diédraux, on a une autre famille infinie :
G= (x
4
" = 1, y 2 = 1, yxy1
=x 2 "1 )
en effet, dans ce cas r = 2n - 1 et r
2
= (2n - 1)
2
= 1 (mod 4n). Pour n = 1, on trouve un
produit direct Z/4 x Z/2, pour n = 2, on trouve un groupe non commutatif à 16 éléments.
• Pour le cas m = 3, le premier exemple non trivial est un produit semi-direct de Z/7 avec
Z/3, avec r = 2. Il a 21 éléments. Enfin, il n'existe pas de produit semi-direct non direct
de la forme Z/4 :><1 Z/3 car les automorphismes de Z/4 sont l'identité ou x 1-+ x-• d'ordre
2, alors que les éléments non nuls de Z/3 sont d'ordre 3.
3.3.10 1) Supposons que G soit produit semi-direct de Net K. Alors une section est tout
simplement donnée par
s(k) = (1, k)
dont on vérifie immédiatement qu'elle est un morphisme et que p os= id.
Supposons maintenant donnée s. Alors s est injective puisque p o s = id. On en déduit
que son image /C = s(K) est isomorphe à K. Si l'on note N l'image de N par i, on peut
vérifier le critère de produit semi-direct. Soit g E G, et posons k = s o p(g) E /C. Alors, par
l'hypothèse sur s, p(k) = p(g), et donc, si l'on pose n = gk1
,
p(n)p(k) = p(g) = p(k) => p(n) = 1 => n E N
puisque la suite est exacte. On a donc G = NIC. Enfin,
N n /C = Kerp n /C = KerplK = {1}
car la restriction de p à /C est injective puisque p os = id, p(g) = 1.
2) Montrons d'abord qu'avec les notations précédentes, /C est bien un relèvement de K, il
suffit de vérifier que deux éléments de /C congrus modulo N sont égaux. Or :
k = k' (mod N) {::::::} p(k) = p(k' ) {::::::} k = k'
puisque p restreinte à /C est injective. Réciproquement, soit /C un relèvement de K, alors
la restriction de p à /C est bijective, puisque /C est une transversale de N puisque /C est une
transversale
1
de N. Il suffit de définir s comme l'application réciproque de cette projection.
3) Dans le cas de S 11 , on a la suite exacte :
e-A " �S,,�{1,-1}-e
Un relèvement sera un sous-groupe de S 11 à deux éléments, donc engendré par une permutation T d'ordre 2. Mais ce doit être une transversale du groupe alterné, donc cette
permutation doit être impaire. On peut prendre une transposition. On aura donc :
S,, '::! A 11 ><1 <1> M
où l'action est définie par -r.cr = T o cr o T.
1. autrement dit, les éléments de IC représentent toutes les classes de G modulo N.
www.bibliomath.com
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et comme le groupe a 2n éléments, c'est le groupe diédral lD>211 • Notre produit semi-direct
a en général la présentation :
G = (x' = 1, y'" = 1, yxy1
= x")
Un tel groupe fait partie des groupes métacycliques. On appelle ainsi un groupe qui a un
sous-groupe normal cyclique, ici isomorphe à Z/n avec un quotient cyclique, isomorphe
à Z/m. Pour le cas m = 2, hormis les groupes diédraux, on a une autre famille infinie :
G= (x
4
" = 1, y 2 = 1, yxy1
=x 2 "1 )
en effet, dans ce cas r = 2n - 1 et r
2
= (2n - 1)
2
= 1 (mod 4n). Pour n = 1, on trouve un
produit direct Z/4 x Z/2, pour n = 2, on trouve un groupe non commutatif à 16 éléments.
• Pour le cas m = 3, le premier exemple non trivial est un produit semi-direct de Z/7 avec
Z/3, avec r = 2. Il a 21 éléments. Enfin, il n'existe pas de produit semi-direct non direct
de la forme Z/4 :><1 Z/3 car les automorphismes de Z/4 sont l'identité ou x 1-+ x-• d'ordre
2, alors que les éléments non nuls de Z/3 sont d'ordre 3.
3.3.10 1) Supposons que G soit produit semi-direct de Net K. Alors une section est tout
simplement donnée par
s(k) = (1, k)
dont on vérifie immédiatement qu'elle est un morphisme et que p os= id.
Supposons maintenant donnée s. Alors s est injective puisque p o s = id. On en déduit
que son image /C = s(K) est isomorphe à K. Si l'on note N l'image de N par i, on peut
vérifier le critère de produit semi-direct. Soit g E G, et posons k = s o p(g) E /C. Alors, par
l'hypothèse sur s, p(k) = p(g), et donc, si l'on pose n = gk1
,
p(n)p(k) = p(g) = p(k) => p(n) = 1 => n E N
puisque la suite est exacte. On a donc G = NIC. Enfin,
N n /C = Kerp n /C = KerplK = {1}
car la restriction de p à /C est injective puisque p os = id, p(g) = 1.
2) Montrons d'abord qu'avec les notations précédentes, /C est bien un relèvement de K, il
suffit de vérifier que deux éléments de /C congrus modulo N sont égaux. Or :
k = k' (mod N) {::::::} p(k) = p(k' ) {::::::} k = k'
puisque p restreinte à /C est injective. Réciproquement, soit /C un relèvement de K, alors
la restriction de p à /C est bijective, puisque /C est une transversale de N puisque /C est une
transversale
1
de N. Il suffit de définir s comme l'application réciproque de cette projection.
3) Dans le cas de S 11 , on a la suite exacte :
e-A " �S,,�{1,-1}-e
Un relèvement sera un sous-groupe de S 11 à deux éléments, donc engendré par une permutation T d'ordre 2. Mais ce doit être une transversale du groupe alterné, donc cette
permutation doit être impaire. On peut prendre une transposition. On aura donc :
S,, '::! A 11 ><1 <1> M
où l'action est définie par -r.cr = T o cr o T.
1. autrement dit, les éléments de IC représentent toutes les classes de G modulo N.
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