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Théorie des groupes
3.3.1 1 Ces sous-groupes sont d'intersection e, car K ne contient pas de double-transposition
mais seulement le 3-cycle (1, 2, 3) et son carré (1, 3, 2) (et le neutre bien sûr). De plus, nous
savons que V est normal dans Ai. On peut en déduire que ces deux groupes forment un
produit semi-direct, et ce produit est A 4 , car il a douze éléments :
Â4 '?:! (Z/2 x Z/2) � <1> Z/3
Notons que dans ce cas, il y a quatre relèvements différents.
3.3.12 1) L'action est définie« naturellement» par :.g = (g), où E Aut(G) et g E G.
2) Les automorphismes des groupes cycliques ont été étudiés. Dans le cas de Z, l'holomorphe
est donc 'Il,� Z/2, avec les lois :
(a, O)(b, 0) = (a + b, 0) (a, O)(b, 1) = (a + b, 1)
(a, l)(b, 0) = (a - b, 1) (a, l)(b, 1) = (a - b, 0)
On reconnaît le groupe diédral infini, engendré par x = (1, 0) et y= (0, 1) avec :
][)) 00 = (x, y I y
2
= 1, yxy = x1
)
qui est aussi le groupe des transformations de 'Il, données par z 1--+ ±z + a.
Dans le cas de Z/2, l'holomorphe est Z/2 lui-même car il n'y a pas d'autre automorphisme
que l'identité. Pour Z/3 et Z/4, le groupe d'automorphismes est Z/2 engendré par x 1--+
x1
en notation multiplicative. La présentation des holomorphes est donc :
(x, y I x' = 1, y
2
= 1, yxy =x1
)
pour n = 3 ou n = 4. On reconnaît les groupes diédraux ][))6 = S 3 et ][)) 8 •
3) Le groupe V de Klein a pour groupe d'automorphismes S 3 . Un automorphisme induit en
effet une permutation des 3 éléments d'ordre 2 de V. Réciproquement, si l'on se donne une
permutation quelconque de ces trois éléments u, v et w, on fixe l'image de deux générateurs
du groupe V, par exemple u et v, et l'image du troisième est automatiquement celui qui
reste. L'holomorphe est donc le produit semi-direct V � <1> S 3 , à 24 éléments.
Montrons que ce groupe est isomorphe à S 4 • Pour cela, montrons qu'il coïncide avec le
produit semi-direct :
S4 =V� K
où K est le stabilisateur de 4, donc isomorphe à S 3 • II est immédiat que ces deux sousgroupes satisfont le critère de produit semi-direct. Par ailleurs, l'action de K sur V peut
être étudiée grâce aux transpositions :
(1, 2)(1, 2)(3, 4)(1, 2) = (1, 2)(3, 4)
(1,2)( 1,3)(2, 4)(1,2) = (1,4)(2, 3)
(1,2)(1 ,4)(2, 3)(1,2) = (1, 3)(2, 4)
ainsi, ( 1, 2) fixe u et échange v et w ; ainsi, de même, pour les autres automorphismes. Le
bilan est :
Hol(V) = S4
4) Posons
][))2 11 = (r,s I r''= s
2
= 1, srs = r- 1 )
Un automorphisme est déterminé par l'image de r qui est de la forme ,1< où k est premier à
n, car cette image doit être d'ordre n, et par 1 ' image de s qui est de la forme r
l
s, car ce doit
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Théorie des groupes
3.3.1 1 Ces sous-groupes sont d'intersection e, car K ne contient pas de double-transposition
mais seulement le 3-cycle (1, 2, 3) et son carré (1, 3, 2) (et le neutre bien sûr). De plus, nous
savons que V est normal dans Ai. On peut en déduire que ces deux groupes forment un
produit semi-direct, et ce produit est A 4 , car il a douze éléments :
Â4 '?:! (Z/2 x Z/2) � <1> Z/3
Notons que dans ce cas, il y a quatre relèvements différents.
3.3.12 1) L'action est définie« naturellement» par :
2) Les automorphismes des groupes cycliques ont été étudiés. Dans le cas de Z, l'holomorphe
est donc 'Il,� Z/2, avec les lois :
(a, O)(b, 0) = (a + b, 0) (a, O)(b, 1) = (a + b, 1)
(a, l)(b, 0) = (a - b, 1) (a, l)(b, 1) = (a - b, 0)
On reconnaît le groupe diédral infini, engendré par x = (1, 0) et y= (0, 1) avec :
][)) 00 = (x, y I y
2
= 1, yxy = x1
)
qui est aussi le groupe des transformations de 'Il, données par z 1--+ ±z + a.
Dans le cas de Z/2, l'holomorphe est Z/2 lui-même car il n'y a pas d'autre automorphisme
que l'identité. Pour Z/3 et Z/4, le groupe d'automorphismes est Z/2 engendré par x 1--+
x1
en notation multiplicative. La présentation des holomorphes est donc :
(x, y I x' = 1, y
2
= 1, yxy =x1
)
pour n = 3 ou n = 4. On reconnaît les groupes diédraux ][))6 = S 3 et ][)) 8 •
3) Le groupe V de Klein a pour groupe d'automorphismes S 3 . Un automorphisme induit en
effet une permutation des 3 éléments d'ordre 2 de V. Réciproquement, si l'on se donne une
permutation quelconque de ces trois éléments u, v et w, on fixe l'image de deux générateurs
du groupe V, par exemple u et v, et l'image du troisième est automatiquement celui qui
reste. L'holomorphe est donc le produit semi-direct V � <1> S 3 , à 24 éléments.
Montrons que ce groupe est isomorphe à S 4 • Pour cela, montrons qu'il coïncide avec le
produit semi-direct :
S4 =V� K
où K est le stabilisateur de 4, donc isomorphe à S 3 • II est immédiat que ces deux sousgroupes satisfont le critère de produit semi-direct. Par ailleurs, l'action de K sur V peut
être étudiée grâce aux transpositions :
(1, 2)(1, 2)(3, 4)(1, 2) = (1, 2)(3, 4)
(1,2)( 1,3)(2, 4)(1,2) = (1,4)(2, 3)
(1,2)(1 ,4)(2, 3)(1,2) = (1, 3)(2, 4)
ainsi, ( 1, 2) fixe u et échange v et w ; ainsi, de même, pour les autres automorphismes. Le
bilan est :
Hol(V) = S4
4) Posons
][))2 11 = (r,s I r''= s
2
= 1, srs = r- 1 )
Un automorphisme est déterminé par l'image de r qui est de la forme ,1< où k est premier à
n, car cette image doit être d'ordre n, et par 1 ' image de s qui est de la forme r
l
s, car ce doit
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