3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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être un élément d'ordre 2 non dans (r). Il y a donc bijection entre Aut(ID> 211 ) et le produit
semi-direct Z/n � Aut(Z/n), la bijection est donnée par :
1--+ (/ , ')
en notant ' la restriction de à (r). Il reste à montrer que c'est un morphisme, soit lj, un
autre automorphisme, avec lj,(r) = r" ' et lj,(s) = l ' s. Alors
lj,(
lj, o - c/ ' +k ' R. , tj,' o ') = c/ ' , lj,')')
en utilisant la loi du produit semi-direct. On a donc :
Aut(ID> 211 ) = Hol(Z/n)
3. 3. 13 1) Les sous-groupes normaux de !Hls sont le centre, à deux éléments, et les trois sousgroupes d'ordre 4. !Hls ne peut être produit semi-direct car aucun couple de sous-groupe
n'est d'intersection réduite au neutre. Vo ir l'exercice 2.3.2.
2) Rappelons qu'un groupe dicyclique quelconque admet la présentation :
G = (x,y I x
2
" = y 4 = 1, y
2
= x', yxy -
1
= x- 1 )
Ses 4n éléments peuvent s'écrire x k ou x k y, èt un calcul facile montre que tous les éléments
de la forme xky ont pour carré y
2
= x'. On en déduit que tout sous-groupe de G contient le
sous-groupe à deux éléments {e, y
2
} qui est d'ailleurs le centre de G. Ce groupe ne peut
donc être produit semi-direct, pour la même raison que ci-dessus, bien qu'il admette des
sous-groupes normaux.
3.4 D'AUTRES GROUPES FINIS
Les théorèmes de Sylow, ainsi que la notion de produit semi-direct vont nous permettre
d'avancer encore dans notre connaissance des groupes finis ayant peu d'éléments. Nous
nous concentrerons sur les groupes non commutatifs, les autres étant étudiés dans le
chapitre suivant, et nous essaierons de compléter notre connaissance des groupes d'ordre
inférieur à 30.
Exercice 3.4.1 (Groupes d'ordre huit)
On poursuit l'exercice 2.3.1 du chapitre précédent en vérifiant qu'il n'y a pas d'autre groupe
non commutatif à huit éléments que les groupes diédraux et quaternioniques. Soit G un
groupe non commutatif à huit éléments.
1) Démontrer qu'il existe un élément a d'ordre 4. Soit H = (a). Vérifier que H
2
= e ou b
2
= a
2
•
2) Démontrer que, dans le premier cas, G est isomorphe à ID>s, dans le second cas, il est
isomorphe à 1Hl 8 •
L'exercice suivant démonte la structure des groupes d'ordre 2p , ce qui règle le cas des
groupes d'ordre 6, déjà connus, 10, 14, 22, 26 ...
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être un élément d'ordre 2 non dans (r). Il y a donc bijection entre Aut(ID> 211 ) et le produit
semi-direct Z/n � Aut(Z/n), la bijection est donnée par :
1--+ (/ , ')
en notant ' la restriction de à (r). Il reste à montrer que c'est un morphisme, soit lj, un
autre automorphisme, avec lj,(r) = r" ' et lj,(s) = l ' s. Alors
lj,(
lj, o - c/ ' +k ' R. , tj,' o ') = c/ ' , lj,')')
en utilisant la loi du produit semi-direct. On a donc :
Aut(ID> 211 ) = Hol(Z/n)
3. 3. 13 1) Les sous-groupes normaux de !Hls sont le centre, à deux éléments, et les trois sousgroupes d'ordre 4. !Hls ne peut être produit semi-direct car aucun couple de sous-groupe
n'est d'intersection réduite au neutre. Vo ir l'exercice 2.3.2.
2) Rappelons qu'un groupe dicyclique quelconque admet la présentation :
G = (x,y I x
2
" = y 4 = 1, y
2
= x', yxy -
1
= x- 1 )
Ses 4n éléments peuvent s'écrire x k ou x k y, èt un calcul facile montre que tous les éléments
de la forme xky ont pour carré y
2
= x'. On en déduit que tout sous-groupe de G contient le
sous-groupe à deux éléments {e, y
2
} qui est d'ailleurs le centre de G. Ce groupe ne peut
donc être produit semi-direct, pour la même raison que ci-dessus, bien qu'il admette des
sous-groupes normaux.
3.4 D'AUTRES GROUPES FINIS
Les théorèmes de Sylow, ainsi que la notion de produit semi-direct vont nous permettre
d'avancer encore dans notre connaissance des groupes finis ayant peu d'éléments. Nous
nous concentrerons sur les groupes non commutatifs, les autres étant étudiés dans le
chapitre suivant, et nous essaierons de compléter notre connaissance des groupes d'ordre
inférieur à 30.
Exercice 3.4.1 (Groupes d'ordre huit)
On poursuit l'exercice 2.3.1 du chapitre précédent en vérifiant qu'il n'y a pas d'autre groupe
non commutatif à huit éléments que les groupes diédraux et quaternioniques. Soit G un
groupe non commutatif à huit éléments.
1) Démontrer qu'il existe un élément a d'ordre 4. Soit H = (a). Vérifier que H
2
= e ou b
2
= a
2
•
2) Démontrer que, dans le premier cas, G est isomorphe à ID>s, dans le second cas, il est
isomorphe à 1Hl 8 •
L'exercice suivant démonte la structure des groupes d'ordre 2p , ce qui règle le cas des
groupes d'ordre 6, déjà connus, 10, 14, 22, 26 ...
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