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Théorie des groupes
Exercice 3.4.2 (Groupes d'ordre 2p)
On suppose que p est premier différent de 2. En étudiant les p-Sylow et les 2-Sylow, montrer
qu'il n'y a que deux sortes de groupes d'ordre 2p , le groupe cyclique Z/2p et le groupe
diédral ID> 2 p .
Parmi les groupes d'ordre petit, il manque encore l'ordre 9. Réglons le cas des ordres p
2
,
ce qui donnera également le cas des groupes d'ordre 25,49 ...
Exercice 3.4.3 (Groupe d'ordre p 2 )
Démontrer qu'un groupe d'ordre p
2
, où p est premier, est nécessairement commutatif. Vérifier
ainsi qu'il n'y a que deux groupes d'ordre p
2
•
Vo ici traités deux exemples de groupes d'ordre p
2
q.
Exercice 3.4.4 (Groupes d'ordre douze)
L' objectif de cet exercice est de montrer qu'il n'y a pas d'autre groupe non commutatif
d'ordre douze que ceux que l'on connaît déjà, soit Ai, ID> 12 et T. Soit G un groupe non
commutatif ayant 12 éléments.
1) Démontrer que s'il y a plus d'un 3-Sylow dans G, alors G est isomorphe A 4 • Ce cas sera
exclu par la suite. Combien y a t-il alors d'éléments d'ordre 3?
2) En déduire qu'il y a un élément a d'ordre 6 (contrairement au cas de Ai), et que (a) est
normal dans G.
3) Montrer que si G est produit semi-direct de Z/6 par Z/2, alors G est isomorphe à ID> 12 •
4) Examiner le dernier cas, vérifier qu'il y a alors un seul élément d'ordre 2.
Exercice 3.4.5 (Groupes d'ordre dix-huit)
Nous verrons dans le chapitre suivant qu'il n'y a que deux groupes commutatifs d'ordre 18,
Z/ 18 et Z/3 x Z/6. Il existe également trois groupes non commutatifs. Soit G un groupe non
commutatif d'ordre 18.
1) Montrer que G a un seul 3-Sylow, et que c'est donc un produit semi-direct de Z/9 par
Z/2, ou de Z/3 x Z/3 par Z/2.
2) Déterminer le groupe des automorphismes de Z/9. En déduire un groupe d'ordre 18.
3) Étudier le groupe des automorphismes de Z/3 x Z/3, en déduire deux nouveaux groupes
d'ordre 18.
4) Montrer que les trois groupes obtenus sont bien distincts (à isomorphisme près). Retrouver
lequel est isomorphe à S 3 x Z/2.
Il manque encore le cas des groupes d'ordre pq, et ainsi sera réglé le cas des ordres 15,
21, 28 ... Cet exercice généralise le cas des groupes d'ordre 2p vus ci-dessus.
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Théorie des groupes
Exercice 3.4.2 (Groupes d'ordre 2p)
On suppose que p est premier différent de 2. En étudiant les p-Sylow et les 2-Sylow, montrer
qu'il n'y a que deux sortes de groupes d'ordre 2p , le groupe cyclique Z/2p et le groupe
diédral ID> 2 p .
Parmi les groupes d'ordre petit, il manque encore l'ordre 9. Réglons le cas des ordres p
2
,
ce qui donnera également le cas des groupes d'ordre 25,49 ...
Exercice 3.4.3 (Groupe d'ordre p 2 )
Démontrer qu'un groupe d'ordre p
2
, où p est premier, est nécessairement commutatif. Vérifier
ainsi qu'il n'y a que deux groupes d'ordre p
2
•
Vo ici traités deux exemples de groupes d'ordre p
2
q.
Exercice 3.4.4 (Groupes d'ordre douze)
L' objectif de cet exercice est de montrer qu'il n'y a pas d'autre groupe non commutatif
d'ordre douze que ceux que l'on connaît déjà, soit Ai, ID> 12 et T. Soit G un groupe non
commutatif ayant 12 éléments.
1) Démontrer que s'il y a plus d'un 3-Sylow dans G, alors G est isomorphe A 4 • Ce cas sera
exclu par la suite. Combien y a t-il alors d'éléments d'ordre 3?
2) En déduire qu'il y a un élément a d'ordre 6 (contrairement au cas de Ai), et que (a) est
normal dans G.
3) Montrer que si G est produit semi-direct de Z/6 par Z/2, alors G est isomorphe à ID> 12 •
4) Examiner le dernier cas, vérifier qu'il y a alors un seul élément d'ordre 2.
Exercice 3.4.5 (Groupes d'ordre dix-huit)
Nous verrons dans le chapitre suivant qu'il n'y a que deux groupes commutatifs d'ordre 18,
Z/ 18 et Z/3 x Z/6. Il existe également trois groupes non commutatifs. Soit G un groupe non
commutatif d'ordre 18.
1) Montrer que G a un seul 3-Sylow, et que c'est donc un produit semi-direct de Z/9 par
Z/2, ou de Z/3 x Z/3 par Z/2.
2) Déterminer le groupe des automorphismes de Z/9. En déduire un groupe d'ordre 18.
3) Étudier le groupe des automorphismes de Z/3 x Z/3, en déduire deux nouveaux groupes
d'ordre 18.
4) Montrer que les trois groupes obtenus sont bien distincts (à isomorphisme près). Retrouver
lequel est isomorphe à S 3 x Z/2.
Il manque encore le cas des groupes d'ordre pq, et ainsi sera réglé le cas des ordres 15,
21, 28 ... Cet exercice généralise le cas des groupes d'ordre 2p vus ci-dessus.
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