3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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Exercice 3.4.6 {Groupes d'ordre pq)
On suppose que pet q sont premiers distincts. On pourra supposer p < q. Soit G un groupe
d'ordre pq.
1) Montrer que G contient un q-Sylow normal.
2) Montrer que si p f=. 1 (mod q), alors G est isomorphe à Z/pq'll, et est donc cyclique.
Combien y a-t-il de cas de ce type si pq < 100?
3) Dans l'autre cas, montrer que G est soit cyclique, isomorphe à Z/pq'll,, ou est produit semidirect de la forme Z/q �cl> '11,/p. On admettra que, dans ce cas, il existe une seule structure
semi-directe. Combien y a-t-il de situations de ce type si pq < 100?
Pour l'ordre 27, il nous faut étudier les groupes d'ordre p
3
•
Exercice 3.4.7 {Les groupes non commutatifs d'ordre p
3 )
1) Soit N le groupe Z/p x Z/p, que nous considérerons comme engendré par les deux éléments a et b:
N = (a, b I a P = bP = 1, ab = ba)
et K le groupe Z/p = (c) . On définit une action par automorphismes de K sur N par:
c.a = ab, c.b = b
Vérifier que l'on obtient bien une action, et en reconnaître la nature géométrique (si N est
considéré comme un espace vectoriel).
2) Vérifier que le produit semi-direct G = N �cl> K admet la présentation:
G =(a, b,cla P =if =d'= 1, b=cac1
a1
, ab = ba, bc = cb)
et que tous les éléments de G vérifient xi' = 1 (si p est impair).
3) Montrer que le cas p = 2 donne une nouvelle structure semi-directe pour le groupe diédral
ID>s.
4) On suppose maintenant que p > 2. N = Z/p
2
= ( a ) et K = Z/p = ( b ). On considère
l'action par automorphismes définie par
b.a = a P +I
Vérifier que l'on définit bien ainsi une action, et que le produit semi-direct G = N �cl> K
admet la présentation :
G = (a, b I a l = bP = 1 , bab1
= a P +1 )
5) On suppose que p ;;:: 3, montrer qu'il n'y a pas d'autre groupe non commutatif d'ordre p
3
que ceux décrits ci-dessus. On pourra distinguer deux cas, suivant qu'il existe un élément
d'ordre p
2
ou non.
Enfin, des exemples de groupes d'ordre 16.
www.bibliomath.com
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Exercice 3.4.6 {Groupes d'ordre pq)
On suppose que pet q sont premiers distincts. On pourra supposer p < q. Soit G un groupe
d'ordre pq.
1) Montrer que G contient un q-Sylow normal.
2) Montrer que si p f=. 1 (mod q), alors G est isomorphe à Z/pq'll, et est donc cyclique.
Combien y a-t-il de cas de ce type si pq < 100?
3) Dans l'autre cas, montrer que G est soit cyclique, isomorphe à Z/pq'll,, ou est produit semidirect de la forme Z/q �cl> '11,/p. On admettra que, dans ce cas, il existe une seule structure
semi-directe. Combien y a-t-il de situations de ce type si pq < 100?
Pour l'ordre 27, il nous faut étudier les groupes d'ordre p
3
•
Exercice 3.4.7 {Les groupes non commutatifs d'ordre p
3 )
1) Soit N le groupe Z/p x Z/p, que nous considérerons comme engendré par les deux éléments a et b:
N = (a, b I a P = bP = 1, ab = ba)
et K le groupe Z/p = (c) . On définit une action par automorphismes de K sur N par:
c.a = ab, c.b = b
Vérifier que l'on obtient bien une action, et en reconnaître la nature géométrique (si N est
considéré comme un espace vectoriel).
2) Vérifier que le produit semi-direct G = N �cl> K admet la présentation:
G =(a, b,cla P =if =d'= 1, b=cac1
a1
, ab = ba, bc = cb)
et que tous les éléments de G vérifient xi' = 1 (si p est impair).
3) Montrer que le cas p = 2 donne une nouvelle structure semi-directe pour le groupe diédral
ID>s.
4) On suppose maintenant que p > 2. N = Z/p
2
= ( a ) et K = Z/p = ( b ). On considère
l'action par automorphismes définie par
b.a = a P +I
Vérifier que l'on définit bien ainsi une action, et que le produit semi-direct G = N �cl> K
admet la présentation :
G = (a, b I a l = bP = 1 , bab1
= a P +1 )
5) On suppose que p ;;:: 3, montrer qu'il n'y a pas d'autre groupe non commutatif d'ordre p
3
que ceux décrits ci-dessus. On pourra distinguer deux cas, suivant qu'il existe un élément
d'ordre p
2
ou non.
Enfin, des exemples de groupes d'ordre 16.
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