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Théorie des groupes
Exercice 3.4.8
Soit N le groupe cyclique d'ordre 8 engendré par a, et K le groupe cyclique d'ordre 2 engendré par b.
1) Montrer que b.a = a
3
définit une action par morphisme cf> de K sur N.
2) Soit G = N � K le produit semi-direct obtenu. Déterminer son centre.
3) Montrer qu'il admet trois sous-groupes d'indice 2, deux à deux non isomorphes. Pourquoi
sont-ils caractéristiques dans G?
4) Vérifier que le produit semi-direct obtenu n'est pas isomorphe au groupe diédral ][]) 16 . On
le nomme groupe semi-diédral.
5) Y a-t-il d'autres produits semi-directs de la forme Z/8 � "' Z/2 ?
SOLUTIONS
3.4.1 1) Si tout élément vérifie x
2
= e, on sait que le groupe est commutatif. Vo ir 1.1.13.
Soit un élément a (différent de e) qui n'est pas d'ordre 2, il est d'ordre 4 (car s'il était
d'ordre 8, le groupe serait cyclique et commutatif). Le groupe H = (a) est d'indice 2, donc
normal dans G. (l.2.2 1). Si b n'est pas dans H, ïl = e dans le quotient G/H qui est d'ordre
2, donc b
2
E H. Si b est d'ordre 2, b
2
= e, sinon, b est d'ordre 4, et b
2
, d'ordre 2 dans (a)
ne peut être que a
2 . En définitive, b
2
= e ou b
2
= a
2
•
2) Remarquons que, dans les deux cas, les huit éléments de G sont :
e, a, a
2 , a
3
, b, ab, a
2
b, a
3
b
car ils sont distincts, comme on le vérifie aisément. Cherchons le conjugué de a par b ;
il est de même ordre que a, et est dans (a), mais ce ne peut être a, sinon le groupe est
commutatif ; c'est donc a
3
et bab1
= a
3
= a1
. Si b
2
= e, on retrouve la définition par
générateurs et relations du groupe diédral. Si b
2
= a
2
c'est celle du groupe quaternionique
(2.3.1).
3.4.2 Il y a un seul p-Sylow, car un p-Sylow est d'indice 2 donc normal dans G. Nous avons
vu deux démonstrations de ce résultat, 3.2.12 et 1.2.21. De plus, ce p-Sylow est d'ordre p
donc isomorphe à Z/p. Le nombre de 2-Sylow est impair et diviseur de p; c'est un ou p.
- Si c'est un, ce 2-Sylow est normal, son intersection avec le p-Sylow est réduite à un élément
(p impair), on peut appliquer le critère du produit direct, G est Z/p x Z/2, isomorphe à
Z/2p .
- Si c'est p, on a toujours une intersection réduite au neutre, mais le produit est semi-direct
non direct. Z/2 ne peut agir d'une façon non triviale que par x 1-+ x- 1 (en notation multiplicative)
1
; on reconnaît le groupe diédral ][]) 2 /J
.
3.4.3 Soit G un groupe d'ordre p
2
• Si un de ses éléments est d'ordre p
2
, il engendre G, qui
est cyclique. Sinon, tous les éléments (sauf e) sont d'ordre p. Soit H = (x) le sous-groupe
d'ordre p engendré par un élément ( différent de e) de G. Alors H est normal dans G, en tant
1. En effet, quand p est premier, l'équation r 2 = l (mod p) n'a pour solution que I ou -1.
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Théorie des groupes
Exercice 3.4.8
Soit N le groupe cyclique d'ordre 8 engendré par a, et K le groupe cyclique d'ordre 2 engendré par b.
1) Montrer que b.a = a
3
définit une action par morphisme cf> de K sur N.
2) Soit G = N � K le produit semi-direct obtenu. Déterminer son centre.
3) Montrer qu'il admet trois sous-groupes d'indice 2, deux à deux non isomorphes. Pourquoi
sont-ils caractéristiques dans G?
4) Vérifier que le produit semi-direct obtenu n'est pas isomorphe au groupe diédral ][]) 16 . On
le nomme groupe semi-diédral.
5) Y a-t-il d'autres produits semi-directs de la forme Z/8 � "' Z/2 ?
SOLUTIONS
3.4.1 1) Si tout élément vérifie x
2
= e, on sait que le groupe est commutatif. Vo ir 1.1.13.
Soit un élément a (différent de e) qui n'est pas d'ordre 2, il est d'ordre 4 (car s'il était
d'ordre 8, le groupe serait cyclique et commutatif). Le groupe H = (a) est d'indice 2, donc
normal dans G. (l.2.2 1). Si b n'est pas dans H, ïl = e dans le quotient G/H qui est d'ordre
2, donc b
2
E H. Si b est d'ordre 2, b
2
= e, sinon, b est d'ordre 4, et b
2
, d'ordre 2 dans (a)
ne peut être que a
2 . En définitive, b
2
= e ou b
2
= a
2
•
2) Remarquons que, dans les deux cas, les huit éléments de G sont :
e, a, a
2 , a
3
, b, ab, a
2
b, a
3
b
car ils sont distincts, comme on le vérifie aisément. Cherchons le conjugué de a par b ;
il est de même ordre que a, et est dans (a), mais ce ne peut être a, sinon le groupe est
commutatif ; c'est donc a
3
et bab1
= a
3
= a1
. Si b
2
= e, on retrouve la définition par
générateurs et relations du groupe diédral. Si b
2
= a
2
c'est celle du groupe quaternionique
(2.3.1).
3.4.2 Il y a un seul p-Sylow, car un p-Sylow est d'indice 2 donc normal dans G. Nous avons
vu deux démonstrations de ce résultat, 3.2.12 et 1.2.21. De plus, ce p-Sylow est d'ordre p
donc isomorphe à Z/p. Le nombre de 2-Sylow est impair et diviseur de p; c'est un ou p.
- Si c'est un, ce 2-Sylow est normal, son intersection avec le p-Sylow est réduite à un élément
(p impair), on peut appliquer le critère du produit direct, G est Z/p x Z/2, isomorphe à
Z/2p .
- Si c'est p, on a toujours une intersection réduite au neutre, mais le produit est semi-direct
non direct. Z/2 ne peut agir d'une façon non triviale que par x 1-+ x- 1 (en notation multiplicative)
1
; on reconnaît le groupe diédral ][]) 2 /J
.
3.4.3 Soit G un groupe d'ordre p
2
• Si un de ses éléments est d'ordre p
2
, il engendre G, qui
est cyclique. Sinon, tous les éléments (sauf e) sont d'ordre p. Soit H = (x) le sous-groupe
d'ordre p engendré par un élément ( différent de e) de G. Alors H est normal dans G, en tant
1. En effet, quand p est premier, l'équation r 2 = l (mod p) n'a pour solution que I ou -1.
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