3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
101
que groupe d'indice p, où p est le plus petit premier divisant l'ordre de G. Si y est un élément
de G qui n'est pas dans H, il engendre un groupe K tel que H n K = { e}, par le théorème de
Lagrange. Donc HK est un produit direct et il est isomorphe à Z/p x Z/p. De plus, HK est G,
pour des raisons de cardinal. Il y a ainsi deux groupes d'ordre p
2
, tous les deux commutatifs.
Parmi les« petits» groupes, cela concerne donc l'ordre 4, 9, 25, 49, ...
3.4.4 1) G est un groupe non commutatif d'ordre 12, et Sun 3-Sylow, de cardinal 3. Alors
G agit par translation sur G/S, de cardinal 4. Le noyau de l'action est inclus dans S. S'il
est trivial, G est isomorphe à un sous-groupe de S 4 , et comme il est de cardinal 12, ce ne
peut être que Ai. On sait qu'il y a alors quatre 3-Sylow, engendré par les 3-cycles. Autre
possibilité, le noyau est S, qui est donc normal dans G, et G n'a qu'un seul 3-Sylow. Il y a
alors deux éléments d'ordre 3.
2) On a donc maintenant G =/ Ai r Soit x l'un des deux éléments d'ordre 3. Alors il existe un
élément y d'ordre 2 qui commute avec x. En effet, le centralisateur de x a pour indice le
nombre des conjugués de x, (3 .2. 1) donc, soit 1, soit 2. Ce centralisateur a un cardinal pair,
il a un élément d'ordre 2 noté y. Le produit a = .xy est d'ordre 6, puisque x et y commutent.
Le groupe ( a ) est normal dans G puisque d'indice 2.
3) Le groupe ( a ) contient un élément d'ordre 2, en l'occurence a
3
• S'il existe dans G un
autre élément d'ordre 2, mettons b, alors ( a ) n ( b ) = { e }, de plus, pour des raisons de
cardinal, ( a) ( b) = G, et comme ( a ) est normal dans G, celui-ci est produit semi-direct de
( a ) et de ( b ). Hormis le cas commutatif, la seule action possible est donnée par bab - 1 =
a1
, puisque c'est le seul automorphisme de Z/6 différent de l'identité. On reconnaît le
groupe diédral ][)) 1 2 ,
4) Dans ce cas, les éléments de G \ ( a ) sont d'ordre 4, puisque 2, 3 et 6 sont à rejeter; (on
exclut le cas 6 en remarquant que si c est d'ordre 6, c
2
est d'ordre 3 donc est a
2
ou a
4
et c
3
d'ordre 2 est a
3
donc c = a ou c = a- 1 ). Soit b l'un de ces éléments d'ordre 4. Alors b
2
est
d'ordre 2, ce ne peut être que a
3
, et bab - 1 est un élément d'ordre 6 de ( a ), ce ne peut être
que a1
, car si c'était a, a et b commuteraient, et G serait commutatif. On reconnaît ainsi
une des présentations du groupe dicyclique T
3.4.5 1) Un 3-Sylow a neuf éléments. Le nombre des 3-Sylow est congru à 1 modulo 3
et diviseur de 2, c'est donc 1. Le seul 3-Sylow H est donc normal dans G. Soit a un
élément d'ordre 2 de G. Alors H n ( a ) = { 1 }, car a n'est pas dans H, qui ne contient pas
d'éléments d'ordre 2. De plus, H et a engendrent G, car H est d'indice 2; on en déduit que
G est produit semi-direct de H et de Z/2, par le critère de produit semi-direct.
2) On suppose que H = Z/9. Les automorphismes de Z/9 sont, en notation multiplicative,
x 1-+ x, x 1-+ x
2
, x 1-+ x
4
, x 1-+ x
5
= x4
, x 1-+ x
1
= x- 2 , x 1-+ x
8
= x1
• Parmi ces
automorphismes, seul le dernier est d'ordre 2; il y a donc une seule structure semi-directe
qui est celle du groupe diédral ][)) 18 •
3) Les automorphismes de Z/3 x Z/3 sont beaucoup plus nombreux. Ce sont, en effet, les
applications linéaires bijectives de l'espace vectoriel
1
(IF 3 )
2
dans lui-même, puisque tout
1. Rappelons qu'on note IFp le corps à p éléments.
www.bibliomath.com
101
que groupe d'indice p, où p est le plus petit premier divisant l'ordre de G. Si y est un élément
de G qui n'est pas dans H, il engendre un groupe K tel que H n K = { e}, par le théorème de
Lagrange. Donc HK est un produit direct et il est isomorphe à Z/p x Z/p. De plus, HK est G,
pour des raisons de cardinal. Il y a ainsi deux groupes d'ordre p
2
, tous les deux commutatifs.
Parmi les« petits» groupes, cela concerne donc l'ordre 4, 9, 25, 49, ...
3.4.4 1) G est un groupe non commutatif d'ordre 12, et Sun 3-Sylow, de cardinal 3. Alors
G agit par translation sur G/S, de cardinal 4. Le noyau de l'action est inclus dans S. S'il
est trivial, G est isomorphe à un sous-groupe de S 4 , et comme il est de cardinal 12, ce ne
peut être que Ai. On sait qu'il y a alors quatre 3-Sylow, engendré par les 3-cycles. Autre
possibilité, le noyau est S, qui est donc normal dans G, et G n'a qu'un seul 3-Sylow. Il y a
alors deux éléments d'ordre 3.
2) On a donc maintenant G =/ Ai r Soit x l'un des deux éléments d'ordre 3. Alors il existe un
élément y d'ordre 2 qui commute avec x. En effet, le centralisateur de x a pour indice le
nombre des conjugués de x, (3 .2. 1) donc, soit 1, soit 2. Ce centralisateur a un cardinal pair,
il a un élément d'ordre 2 noté y. Le produit a = .xy est d'ordre 6, puisque x et y commutent.
Le groupe ( a ) est normal dans G puisque d'indice 2.
3) Le groupe ( a ) contient un élément d'ordre 2, en l'occurence a
3
• S'il existe dans G un
autre élément d'ordre 2, mettons b, alors ( a ) n ( b ) = { e }, de plus, pour des raisons de
cardinal, ( a) ( b) = G, et comme ( a ) est normal dans G, celui-ci est produit semi-direct de
( a ) et de ( b ). Hormis le cas commutatif, la seule action possible est donnée par bab - 1 =
a1
, puisque c'est le seul automorphisme de Z/6 différent de l'identité. On reconnaît le
groupe diédral ][)) 1 2 ,
4) Dans ce cas, les éléments de G \ ( a ) sont d'ordre 4, puisque 2, 3 et 6 sont à rejeter; (on
exclut le cas 6 en remarquant que si c est d'ordre 6, c
2
est d'ordre 3 donc est a
2
ou a
4
et c
3
d'ordre 2 est a
3
donc c = a ou c = a- 1 ). Soit b l'un de ces éléments d'ordre 4. Alors b
2
est
d'ordre 2, ce ne peut être que a
3
, et bab - 1 est un élément d'ordre 6 de ( a ), ce ne peut être
que a1
, car si c'était a, a et b commuteraient, et G serait commutatif. On reconnaît ainsi
une des présentations du groupe dicyclique T
3.4.5 1) Un 3-Sylow a neuf éléments. Le nombre des 3-Sylow est congru à 1 modulo 3
et diviseur de 2, c'est donc 1. Le seul 3-Sylow H est donc normal dans G. Soit a un
élément d'ordre 2 de G. Alors H n ( a ) = { 1 }, car a n'est pas dans H, qui ne contient pas
d'éléments d'ordre 2. De plus, H et a engendrent G, car H est d'indice 2; on en déduit que
G est produit semi-direct de H et de Z/2, par le critère de produit semi-direct.
2) On suppose que H = Z/9. Les automorphismes de Z/9 sont, en notation multiplicative,
x 1-+ x, x 1-+ x
2
, x 1-+ x
4
, x 1-+ x
5
= x4
, x 1-+ x
1
= x- 2 , x 1-+ x
8
= x1
• Parmi ces
automorphismes, seul le dernier est d'ordre 2; il y a donc une seule structure semi-directe
qui est celle du groupe diédral ][)) 18 •
3) Les automorphismes de Z/3 x Z/3 sont beaucoup plus nombreux. Ce sont, en effet, les
applications linéaires bijectives de l'espace vectoriel
1
(IF 3 )
2
dans lui-même, puisque tout
1. Rappelons qu'on note IFp le corps à p éléments.
www.bibliomath.com