102
Th éorie des groupes
morphisme est forcément IF 3 -linéaire. Dans ce groupe de 48 éléments, il y en a 12 d'ordre
2, ce sont -/ et les matrices de trace nulle et de déterminant -1 ; elles sont toutes semblables à la matrice ( � � ) . En dimension 2, deux matrices sont semblables si elles ont
même trace et même déterminant. Il y a donc deux structures de produit semi-direct. La
première est définie par :
G 1 = (Z/3 x Z/3) > 1 (l)(a, b) = (-a, -b)
et la seconde :
G 2 = (Z/3 x Z/3) > 2 Z/2 où 2(l)(a, b) = (b, a)
Ce dernier cas est un exemple de produit en couronne, celui de Z/3 par Z/2. Vo ir le
problème en fin de chapitre pour plus de précision sur cette notion.
4) Comment reconnaître que ces groupes sont différents ? Ici encore, l'étude des ordres des
éléments va suffir.
Dans le cas du groupe diédral ][J) 1 s, on trouve :
- un élément d'ordre 1, neuf d'ordre 2, deux d'ordre 3, six d'ordre 9.
Dans le cas du groupe G 1
- un élément d'ordre 1, neuf d'ordre 2, huit d'ordre 3.
Dans le cas du groupe G 2 :
- un élément d'ordre 1, trois d'ordre 2, huit d'ordre 3, six d'ordre 6.
Le groupe à 18 éléments 8 3 x Z/3 coïncide avec ce groupe G 2 comme le montre l'ordre
de ses éléments. Remarquons, pour conclure, que le groupe G 1 peut être engendré par ses
éléments
a = ((1, 0), 1), b = ((0, 1), 1), C = ((0, 0), 1)
avec la présentation :
G 1 = (a, b, c I a
2
= b
2
= c
2
= (abc)
2
= (ab)
3
= (ac)
3
= 1)
3.4.6 1) Supposons p < q. Le nombre de q -Sylow est sq, de la forme 1 + kq et c'est un
diviseur de p; ce ne peut donc qu'être 1. Il y a donc un seul q -Sylow qui est normal dans
G.
2) Avec les mêmes hypothèses, soit S p Ie nombre des p-Sylow. Alors s p = 1 (mod p) et
s p I q. Si donc q � 1 (mod p), il n'y a qu'un seul p-Sylow qui est normal dans G. Les
deux sous-groupes de Sylow sont cycliques puisqu'ils ont pour ordres respectifs q et p et
ils satisfont le critère de produit direct. Leur intersection ne peut être que e car leurs ordres
sont premiers. On peut donc affirmer que G est isomorphe au produit direct Z/p x Z/q
qui est lui même cyclique, par le théorème chinois.
Les cas qui correspondent à cette situation sont :
p = 3: q = 5, 11, 17, 23, 29... d'où les ordres : 15, 33, 51, 69, 87 ...
p = 5: q = 7, 13, 17, 19...
d'où les ordres :35, 65, 83, 95 ...
p = 7 : q = 11, 13...
d'où les ordres :77, 91...
www.bibliomath.com
Th éorie des groupes
morphisme est forcément IF 3 -linéaire. Dans ce groupe de 48 éléments, il y en a 12 d'ordre
2, ce sont -/ et les matrices de trace nulle et de déterminant -1 ; elles sont toutes semblables à la matrice ( � � ) . En dimension 2, deux matrices sont semblables si elles ont
même trace et même déterminant. Il y a donc deux structures de produit semi-direct. La
première est définie par :
G 1 = (Z/3 x Z/3) >
et la seconde :
G 2 = (Z/3 x Z/3) >
Ce dernier cas est un exemple de produit en couronne, celui de Z/3 par Z/2. Vo ir le
problème en fin de chapitre pour plus de précision sur cette notion.
4) Comment reconnaître que ces groupes sont différents ? Ici encore, l'étude des ordres des
éléments va suffir.
Dans le cas du groupe diédral ][J) 1 s, on trouve :
- un élément d'ordre 1, neuf d'ordre 2, deux d'ordre 3, six d'ordre 9.
Dans le cas du groupe G 1
- un élément d'ordre 1, neuf d'ordre 2, huit d'ordre 3.
Dans le cas du groupe G 2 :
- un élément d'ordre 1, trois d'ordre 2, huit d'ordre 3, six d'ordre 6.
Le groupe à 18 éléments 8 3 x Z/3 coïncide avec ce groupe G 2 comme le montre l'ordre
de ses éléments. Remarquons, pour conclure, que le groupe G 1 peut être engendré par ses
éléments
a = ((1, 0), 1), b = ((0, 1), 1), C = ((0, 0), 1)
avec la présentation :
G 1 = (a, b, c I a
2
= b
2
= c
2
= (abc)
2
= (ab)
3
= (ac)
3
= 1)
3.4.6 1) Supposons p < q. Le nombre de q -Sylow est sq, de la forme 1 + kq et c'est un
diviseur de p; ce ne peut donc qu'être 1. Il y a donc un seul q -Sylow qui est normal dans
G.
2) Avec les mêmes hypothèses, soit S p Ie nombre des p-Sylow. Alors s p = 1 (mod p) et
s p I q. Si donc q � 1 (mod p), il n'y a qu'un seul p-Sylow qui est normal dans G. Les
deux sous-groupes de Sylow sont cycliques puisqu'ils ont pour ordres respectifs q et p et
ils satisfont le critère de produit direct. Leur intersection ne peut être que e car leurs ordres
sont premiers. On peut donc affirmer que G est isomorphe au produit direct Z/p x Z/q
qui est lui même cyclique, par le théorème chinois.
Les cas qui correspondent à cette situation sont :
p = 3: q = 5, 11, 17, 23, 29... d'où les ordres : 15, 33, 51, 69, 87 ...
p = 5: q = 7, 13, 17, 19...
d'où les ordres :35, 65, 83, 95 ...
p = 7 : q = 11, 13...
d'où les ordres :77, 91...
www.bibliomath.com