3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
103
On obtient ainsi des entiers n, tel qu'il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul groupe
d'ordre
1
n.
3) Si q = 1 (mod p), alors il peut y avoir plusieurs p-Sylow. Soit Kun de ces groupes, et
N l'unique q-Sylow. Ces deux groupes satisfont le critère du produit semi-direct comme
ci-dessus et leur produit ne peut être que G.
Étudions maintenant l'action de K sur N; le groupe Aut(Z/q) est d'ordre q - 1 : notre
action est définie par un morphisme de Z/p dans Z/q - 1. Si ce morphisme n'est pas
trivial, ce qui donne le cas du produit direct, il est injectif puisque p est premier. Z/p a
pour image sur un sous-groupe d'ordre p de Z/q - 1, ce groupe existe car p I q - 1, et il
existe un élément d'ordre p dans Aut(Z/q) (lemme de Cauchy). Par exemple, si p = 3 et
q = 7, on obtient deux structures semi-directes, données par :
(a, b I a
7
= b
3
= 1, bab1
= a
2 ) et (a,b I a
7
= b
3
= l, bab1
= a
4 )
car 2
3
= 4
3
= 1 (mod 7). Ces produits semi-directs sont isomorphes : dans la première
présentation, en remplaçant b par b
2 , on a ( b
2 )
3
= 1 et b
2
ab2
= a
4
, on retrouve la seconde
présentation.
Les cas qui correspondent à cette situation sont :
p = 2: q = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ...
d'où les ordres : 6, 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46, 58, 62, 74, 82, 86, 94 ...
p = 3: q = 7, 13, 19, 31... d'où les ordres :21, 39, 57, 93 ...
p = 5 : q = 11...
d'où l'ordre : 55 ...
En ajoutant les groupes d'ordre p
2
et les groupes d'ordre 99, on obtient tous les n inférieurs
à 100, tel qu'il existe deux groupes d'ordre n.
3.4.7 l) Considérons N muni de sa structure de 1F p -espace vectoriel. Alors tout automorphisme du groupe additif est automatiquement un automorphisme d'espace vectoriel, et
réciproquement. L'application définie par
c.a = a, c.b = ab
a, pour matrice, dans la base (a, b):
Mat(�(c)) =
G D
C'est donc la matrice d'une transvection. On est bien dans le cas d'une action car cette
matrice est d'ordre p. Plus précisément, Z/p est isomorphe au groupe des matrices de la
forme:
2) Il suffit de traduire l'action par des automorphismes intérieurs. c.b = b s'écrit cbc1
= b
soit be = cb, de même c.a = ab s'écrit b = cac1
a1
• Enfin, la présentation de N est:
N = ( a , b I a P = bP = 1, ab = ba)
1. En aj outant le cas où l'ordre de G est premier, on obtient tous les cas où n < 100 et où il n'y a qu'un seul
groupe d'ordre n. Cela ne se poursuit pas ; il y a un seul groupe d'ordre 255 = 3 x 5 x 17.
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On obtient ainsi des entiers n, tel qu'il n'existe, à isomorphisme près, qu'un seul groupe
d'ordre
1
n.
3) Si q = 1 (mod p), alors il peut y avoir plusieurs p-Sylow. Soit Kun de ces groupes, et
N l'unique q-Sylow. Ces deux groupes satisfont le critère du produit semi-direct comme
ci-dessus et leur produit ne peut être que G.
Étudions maintenant l'action de K sur N; le groupe Aut(Z/q) est d'ordre q - 1 : notre
action est définie par un morphisme de Z/p dans Z/q - 1. Si ce morphisme n'est pas
trivial, ce qui donne le cas du produit direct, il est injectif puisque p est premier. Z/p a
pour image sur un sous-groupe d'ordre p de Z/q - 1, ce groupe existe car p I q - 1, et il
existe un élément d'ordre p dans Aut(Z/q) (lemme de Cauchy). Par exemple, si p = 3 et
q = 7, on obtient deux structures semi-directes, données par :
(a, b I a
7
= b
3
= 1, bab1
= a
2 ) et (a,b I a
7
= b
3
= l, bab1
= a
4 )
car 2
3
= 4
3
= 1 (mod 7). Ces produits semi-directs sont isomorphes : dans la première
présentation, en remplaçant b par b
2 , on a ( b
2 )
3
= 1 et b
2
ab2
= a
4
, on retrouve la seconde
présentation.
Les cas qui correspondent à cette situation sont :
p = 2: q = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 ...
d'où les ordres : 6, 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46, 58, 62, 74, 82, 86, 94 ...
p = 3: q = 7, 13, 19, 31... d'où les ordres :21, 39, 57, 93 ...
p = 5 : q = 11...
d'où l'ordre : 55 ...
En ajoutant les groupes d'ordre p
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et les groupes d'ordre 99, on obtient tous les n inférieurs
à 100, tel qu'il existe deux groupes d'ordre n.
3.4.7 l) Considérons N muni de sa structure de 1F p -espace vectoriel. Alors tout automorphisme du groupe additif est automatiquement un automorphisme d'espace vectoriel, et
réciproquement. L'application définie par
c.a = a, c.b = ab
a, pour matrice, dans la base (a, b):
Mat(�(c)) =
G D
C'est donc la matrice d'une transvection. On est bien dans le cas d'une action car cette
matrice est d'ordre p. Plus précisément, Z/p est isomorphe au groupe des matrices de la
forme:
2) Il suffit de traduire l'action par des automorphismes intérieurs. c.b = b s'écrit cbc1
= b
soit be = cb, de même c.a = ab s'écrit b = cac1
a1
• Enfin, la présentation de N est:
N = ( a , b I a P = bP = 1, ab = ba)
1. En aj outant le cas où l'ordre de G est premier, on obtient tous les cas où n < 100 et où il n'y a qu'un seul
groupe d'ordre n. Cela ne se poursuit pas ; il y a un seul groupe d'ordre 255 = 3 x 5 x 17.
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