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Théorie des groupes
On obtient donc pour le produit semi-direct :
G = (a,b,c I aP = bP = cP = 1, ab= ba, be = ch, b = cac1
a -
1
)
en effet, comme a et c commutent avec b, et que ca = abc, les éléments de G peuvent
s'écrire x = a
k
b
e c
1
" ( où les exposants sont positifs) et sont donc en nombre inférieur à p
3 •
On conclut par le théorème de Von Dyck. De plus, le calcul des puissances successives de
x montre que :
x!' = aP
k
bP e + p(p - l)mk/2cPm
ce qui montre que tout élément est d'ordre p quand p est impair.
3) Lorsque p = 2, les éléments ac et abc sont d'ordre 4, comme le montre le calcul précédent.
Tous les autres (sauf e) étant d'ordre 2, on reconnaît le groupe diédral ][J)g , qui peut donc
s'écrire :
][J)s = V � Z/2
l'action étant définie par :
l.(a, b) =(a + b, b)
4) Vérifions que c'est une action :
b.a = a p + I => bP .a = a
IY' = a
car
(1 + p) P = 1 + p
2
+ c;p
2
+ . .. = 1 (mod p
2
)
La traduction de l'action par automorphisme intérieur montre que le produit semi-direct
satisfait les mêmes relations que
G = (a,b I a l = bP = 1, bab1
= a ' ' +1
)
et l'on voit, comme toujours, que les éléments de G peuvent s'écrire a
k
b
e
où O :,;; k :,;; p
2
-1
et O :,;; f :,;; p - 1, ce qui prouve que G contient au maximum p
3
éléments ; on conclut
par le théorème de Von Dyck. Dans le cas p = 2, on retrouve encore le groupe diédral,
mais dans les autres cas, il s'agit d'un groupe différent du précédent, car ses éléments non
triviaux ne sont pas tous d'ordre p.
5) Supposons pour commencer qu'il existe un élément, a, d'ordre p
2
• Soit N = (a
2 ), alors N
est normal dans G, puisqu'il est d'indice p, plus petit facteur premier de p
3 . Soit b Alors hl' E N, puisque le quotient est d'ordre p, et bab1
E N. On désire retrouver la
présentation précédente et donc avoir bP = 1 et bah1
= a P + 1
, mais ce n'est pas immédiat,
il faut« changer» b.
Posons pour commencer bab1
= a
r
. Alors
a = bPab-P = a'"
puisque hl' E N commute avec a. On en déduit que r P = 1 (mod p
2 ) . Un théorème d'arithmétique dit que rP = r (mod p). Par soustraction, on en déduit r = 1 + sp. Mais alors,
llab -j = a
i
= a ( l+s pY = a
1+s p j
puisque a est d'ordre p
2
. Si l'on choisitj de sorte que sj = 1 (mod p), on obtient llab-i =
af
H 1
• On peut donc remplacer b par b' = Il, on aura toujours Il àp.
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Théorie des groupes
On obtient donc pour le produit semi-direct :
G = (a,b,c I aP = bP = cP = 1, ab= ba, be = ch, b = cac1
a -
1
)
en effet, comme a et c commutent avec b, et que ca = abc, les éléments de G peuvent
s'écrire x = a
k
b
e c
1
" ( où les exposants sont positifs) et sont donc en nombre inférieur à p
3 •
On conclut par le théorème de Von Dyck. De plus, le calcul des puissances successives de
x montre que :
x!' = aP
k
bP e + p(p - l)mk/2cPm
ce qui montre que tout élément est d'ordre p quand p est impair.
3) Lorsque p = 2, les éléments ac et abc sont d'ordre 4, comme le montre le calcul précédent.
Tous les autres (sauf e) étant d'ordre 2, on reconnaît le groupe diédral ][J)g , qui peut donc
s'écrire :
][J)s = V �
l'action étant définie par :
l.(a, b) =(a + b, b)
4) Vérifions que c'est une action :
b.a = a p + I => bP .a = a
IY' = a
car
(1 + p) P = 1 + p
2
+ c;p
2
+ . .. = 1 (mod p
2
)
La traduction de l'action par automorphisme intérieur montre que le produit semi-direct
satisfait les mêmes relations que
G = (a,b I a l = bP = 1, bab1
= a ' ' +1
)
et l'on voit, comme toujours, que les éléments de G peuvent s'écrire a
k
b
e
où O :,;; k :,;; p
2
-1
et O :,;; f :,;; p - 1, ce qui prouve que G contient au maximum p
3
éléments ; on conclut
par le théorème de Von Dyck. Dans le cas p = 2, on retrouve encore le groupe diédral,
mais dans les autres cas, il s'agit d'un groupe différent du précédent, car ses éléments non
triviaux ne sont pas tous d'ordre p.
5) Supposons pour commencer qu'il existe un élément, a, d'ordre p
2
• Soit N = (a
2 ), alors N
est normal dans G, puisqu'il est d'indice p, plus petit facteur premier de p
3 . Soit b Alors hl' E N, puisque le quotient est d'ordre p, et bab1
E N. On désire retrouver la
présentation précédente et donc avoir bP = 1 et bah1
= a P + 1
, mais ce n'est pas immédiat,
il faut« changer» b.
Posons pour commencer bab1
= a
r
. Alors
a = bPab-P = a'"
puisque hl' E N commute avec a. On en déduit que r P = 1 (mod p
2 ) . Un théorème d'arithmétique dit que rP = r (mod p). Par soustraction, on en déduit r = 1 + sp. Mais alors,
llab -j = a
i
= a ( l+s pY = a
1+s p j
puisque a est d'ordre p
2
. Si l'on choisitj de sorte que sj = 1 (mod p), on obtient llab-i =
af
H 1
• On peut donc remplacer b par b' = Il, on aura toujours Il àp.
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