3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
105
On a alors b'" EN donc b'" = a
k
. Mai s k est multip le de p , sinon a
k
serait d'ordre p
2
et b'
d'ordre p
3
et le groupe serait cycli que. Posons b'" = a" " . Consi dérons alors b" = a " b :
b" " = a " b' a " b . .. a " b' = b
1
-" p a
11 < 1 +( l+p)+(l+p)
2 + ... +( l +pY'- ' = b' -"a " " = e
en effet,
l + (1 + p) + (1 + p)
2
+ . . . + (1 + p ' f -
1
= p + p (l + 2 + 3 + ... + p - 1) = p (mod p
2
)
On a également utilisé b'ia = a
1 + P
b'i, et l'on peut véri fier qu'on a toujours b" ab"1
= a
1 + P .
En définitive, on a bien obtenu la présentatio n :
G = (a, b I a
l
= b" = 1 , bab -
1
= a'' + 1 )
Supposons pour terminer qu'i l n'y ait aucun élément d'ordre p
2
• Alors le centre Z(G)
est d'ordre p, car il n'est pas triv i al (G est un p-groupe) et ne peut être d'ordre p
2
, sinon il
commuterait avec tous les sous-groupes d'ordre p, et G serait produit direct et commutatif .
Le quotie nt G/ Z(G) est d'ordre p
2
, et ne contie nt que des éléments d'ordre p (et le neutre),
car G ne contie nt pas d'élément d'ordre supérie ur. Il est donc du type
G/Z =( a, � 1 a " = � " = 1, a� = �a)
Si l'on note a et b des représentants des classes a et �. alors :
a" = b" = 1, aba -
1 b -
1
E Z(G)
et l'on note c ce dernier élément qui n'est pas égal à 1, sinon G serait commutatif . En
définitive, G est engendré par a, b, c véri fiant :
a" = b" = c" = 1 , ac= ca, be= cb, c = aba -
1 b -
1
ce qui correspond bien à la présentatio n du groupe décrit plus haut.
3.4.8 1) D'après les études précédentes, il suffit de véri fier que 3
2
= 1 (mod 8) ce qui est
vrai.
2) Comme dans les exercic es ci-dessus, les seiz e éléments de notre produit semi-di rect
s'écriv ent a
k b
e
où O � k � 7 et O � f. � 1. La loi se transcrit :
(a
k b
e ) (a
k '
b
e ' ) = a
k + k ' 3 '
b
e ' -
e
On en déduit aisément que le centre est le groupe à deux éléments (a
4
).
3) G admet le sous-groupe normal N is omorphe à 'll../8, le sous-groupe (a
2
, b) est is omorphe
au groupe diédral ][)) 8 pui sque ba
2 b -
1
= (a
3
)
2
= a2
, et l'on obti ent la présentatio n du
groupe diédral. Enfin, (a
2
, ab) engendré par deux éléments d'ordre 4 est is omorphe à lHI 8 ,
et contie nt :
e, a
2
, a
4
, a
6
, ab, a
3 b , , a
5 b , a
1 b
On vérifie aisément qu'i l n'y a pas d'autre groupe à 8 éléments. Comme ces sous-groupes
sont deux à deux non is omorphes, il s sont caractéris tiques dans G.
4) G n'est pas diédral car ][)) 211 ne contie nt qu'un sous-groupe d'i ndice 2.
5) L'équatio n r
2
= 1 (mod 8) a pour solutio n r = 1, 3 , 5, 7. Le premier cas donne le produit
direct, le dernier donne le groupe diédral ; reste à examiner le troisième. Il est donné par la
présentatio n :
(a, b I a
8
= b
2
= 1 , bab -
1
= a
5
)
et un rapide examen des ordres de ses éléments montre qu'i l n'est pas is omorphe aux deux
produits semi-di rects précédents.
www.bibliomath.com
105
On a alors b'" EN donc b'" = a
k
. Mai s k est multip le de p , sinon a
k
serait d'ordre p
2
et b'
d'ordre p
3
et le groupe serait cycli que. Posons b'" = a" " . Consi dérons alors b" = a " b :
b" " = a " b' a " b . .. a " b' = b
1
-" p a
11 < 1 +( l+p)+(l+p)
2 + ... +( l +pY'- ' = b' -"a " " = e
en effet,
l + (1 + p) + (1 + p)
2
+ . . . + (1 + p ' f -
1
= p + p (l + 2 + 3 + ... + p - 1) = p (mod p
2
)
On a également utilisé b'ia = a
1 + P
b'i, et l'on peut véri fier qu'on a toujours b" ab"1
= a
1 + P .
En définitive, on a bien obtenu la présentatio n :
G = (a, b I a
l
= b" = 1 , bab -
1
= a'' + 1 )
Supposons pour terminer qu'i l n'y ait aucun élément d'ordre p
2
• Alors le centre Z(G)
est d'ordre p, car il n'est pas triv i al (G est un p-groupe) et ne peut être d'ordre p
2
, sinon il
commuterait avec tous les sous-groupes d'ordre p, et G serait produit direct et commutatif .
Le quotie nt G/ Z(G) est d'ordre p
2
, et ne contie nt que des éléments d'ordre p (et le neutre),
car G ne contie nt pas d'élément d'ordre supérie ur. Il est donc du type
G/Z =( a, � 1 a " = � " = 1, a� = �a)
Si l'on note a et b des représentants des classes a et �. alors :
a" = b" = 1, aba -
1 b -
1
E Z(G)
et l'on note c ce dernier élément qui n'est pas égal à 1, sinon G serait commutatif . En
définitive, G est engendré par a, b, c véri fiant :
a" = b" = c" = 1 , ac= ca, be= cb, c = aba -
1 b -
1
ce qui correspond bien à la présentatio n du groupe décrit plus haut.
3.4.8 1) D'après les études précédentes, il suffit de véri fier que 3
2
= 1 (mod 8) ce qui est
vrai.
2) Comme dans les exercic es ci-dessus, les seiz e éléments de notre produit semi-di rect
s'écriv ent a
k b
e
où O � k � 7 et O � f. � 1. La loi se transcrit :
(a
k b
e ) (a
k '
b
e ' ) = a
k + k ' 3 '
b
e ' -
e
On en déduit aisément que le centre est le groupe à deux éléments (a
4
).
3) G admet le sous-groupe normal N is omorphe à 'll../8, le sous-groupe (a
2
, b) est is omorphe
au groupe diédral ][)) 8 pui sque ba
2 b -
1
= (a
3
)
2
= a2
, et l'on obti ent la présentatio n du
groupe diédral. Enfin, (a
2
, ab) engendré par deux éléments d'ordre 4 est is omorphe à lHI 8 ,
et contie nt :
e, a
2
, a
4
, a
6
, ab, a
3 b , , a
5 b , a
1 b
On vérifie aisément qu'i l n'y a pas d'autre groupe à 8 éléments. Comme ces sous-groupes
sont deux à deux non is omorphes, il s sont caractéris tiques dans G.
4) G n'est pas diédral car ][)) 211 ne contie nt qu'un sous-groupe d'i ndice 2.
5) L'équatio n r
2
= 1 (mod 8) a pour solutio n r = 1, 3 , 5, 7. Le premier cas donne le produit
direct, le dernier donne le groupe diédral ; reste à examiner le troisième. Il est donné par la
présentatio n :
(a, b I a
8
= b
2
= 1 , bab -
1
= a
5
)
et un rapide examen des ordres de ses éléments montre qu'i l n'est pas is omorphe aux deux
produits semi-di rects précédents.
www.bibliomath.com