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Théorie des groupes
3.5 PROBLÈMES
3.5.1 Les groupes GL(n , OC), PGL(n , OC), SL(n , OC), PSL(n, OC)
Ce problème est consacré au début de l'étude de ces groupes géométriques qui font partie de ce qu'on nomme les groupes classiques. Dans tout le problème, OC est un corps
commutatif, fini ou infini.
1) Préliminaires
a) Soit GL(n, OC) le groupe des matrices carrées inversibles de dimension n (groupe linéaire), et soit SL(n, OC) formé des matrices de déterminant l. Montrer que c'est un
sous-groupe normal dans GL(n, OC). On l'appelle groupe spécial linéaire.
b) Le groupe linéaire est-il produit semi-direct du groupe spécial linéaire et d'un autre
groupe?
c) On sait que le centre de GL(n, OC) est formé des matrices scalaires; (cf. le premier
problème du chapitre 1). Quel est le centre de SL(n, OC)?
d) On note PGL(n, OC) et PSL(n, OC) les quotients de GL(n, OC) et de SL(n, OC) par leur
centre respectif. Démontrer que ces groupes ont un centre réduit à l'élément neutre.
Ces groupes sont dits groupes projectifs linéaires et spécial projectif linéaire.
e) On note IP'(]E) l'ensemble des droites d'un espace vectoriel JE, et en particulier Jpm- 1 (0C)
l'ensemble des droites vectorielles de ][{
11 • Démontrer que PGL(n, OC) et PSL(n, OC)
agissent fidèlement et transitivement sur IP"'- 1 (0C) (appelé espace projectif de dimension n - 1).
2) Calculs des cardinaux ; premiers cas particuliers
a) On suppose que OC est un corps fini de cardinal q (qui est donc de la forme q = p "' , avec
p premier); on sait qu'il y a unicité (à isomorphisme près) d'un tel corps
1 , que l'on
note lF q . Calculer le cardinal de chacun des groupes GL(n, OC), PGL(n, OC), SL(n, OC).
b) On rappelle que Il{* est un groupe cyclique de cardinal q - 1 (l.l. 12). Montrer que
l'équation x' = 1 admet d = n /\ (q - 1) solutions dans le corps lF q . En déduire le
cardinal de PSL(n, OC).
c) Dresser une table des « petits » cardinaux de ces groupes pour q ::;;; 9 et n ::;;; 3, et
donner la liste des groupes ayant mêmes cardinaux.
d) On considère le cas du corps à deux éléments, noté lF 2 • Montrer que les quatre groupes
GL(n, lF 2), PGL(n, lF 2), SL(n, lF 2), PSL(n, lF 2) sont isomorphes.
e) Cas particulier : GL (2, lF 2 ). En utilisant une action de ce groupe sur les droites de
(JF 2 )
2
, démontrer qu'il est isomorphe à S 3 •
f) Que dire de GL(3, lF 2 )? Préciser, en particulier, les 2-Sylow.
l. cf notamment l'ouvrage de D. Perrin [21].
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
3.5 PROBLÈMES
3.5.1 Les groupes GL(n , OC), PGL(n , OC), SL(n , OC), PSL(n, OC)
Ce problème est consacré au début de l'étude de ces groupes géométriques qui font partie de ce qu'on nomme les groupes classiques. Dans tout le problème, OC est un corps
commutatif, fini ou infini.
1) Préliminaires
a) Soit GL(n, OC) le groupe des matrices carrées inversibles de dimension n (groupe linéaire), et soit SL(n, OC) formé des matrices de déterminant l. Montrer que c'est un
sous-groupe normal dans GL(n, OC). On l'appelle groupe spécial linéaire.
b) Le groupe linéaire est-il produit semi-direct du groupe spécial linéaire et d'un autre
groupe?
c) On sait que le centre de GL(n, OC) est formé des matrices scalaires; (cf. le premier
problème du chapitre 1). Quel est le centre de SL(n, OC)?
d) On note PGL(n, OC) et PSL(n, OC) les quotients de GL(n, OC) et de SL(n, OC) par leur
centre respectif. Démontrer que ces groupes ont un centre réduit à l'élément neutre.
Ces groupes sont dits groupes projectifs linéaires et spécial projectif linéaire.
e) On note IP'(]E) l'ensemble des droites d'un espace vectoriel JE, et en particulier Jpm- 1 (0C)
l'ensemble des droites vectorielles de ][{
11 • Démontrer que PGL(n, OC) et PSL(n, OC)
agissent fidèlement et transitivement sur IP"'- 1 (0C) (appelé espace projectif de dimension n - 1).
2) Calculs des cardinaux ; premiers cas particuliers
a) On suppose que OC est un corps fini de cardinal q (qui est donc de la forme q = p "' , avec
p premier); on sait qu'il y a unicité (à isomorphisme près) d'un tel corps
1 , que l'on
note lF q . Calculer le cardinal de chacun des groupes GL(n, OC), PGL(n, OC), SL(n, OC).
b) On rappelle que Il{* est un groupe cyclique de cardinal q - 1 (l.l. 12). Montrer que
l'équation x' = 1 admet d = n /\ (q - 1) solutions dans le corps lF q . En déduire le
cardinal de PSL(n, OC).
c) Dresser une table des « petits » cardinaux de ces groupes pour q ::;;; 9 et n ::;;; 3, et
donner la liste des groupes ayant mêmes cardinaux.
d) On considère le cas du corps à deux éléments, noté lF 2 • Montrer que les quatre groupes
GL(n, lF 2), PGL(n, lF 2), SL(n, lF 2), PSL(n, lF 2) sont isomorphes.
e) Cas particulier : GL (2, lF 2 ). En utilisant une action de ce groupe sur les droites de
(JF 2 )
2
, démontrer qu'il est isomorphe à S 3 •
f) Que dire de GL(3, lF 2 )? Préciser, en particulier, les 2-Sylow.
l. cf notamment l'ouvrage de D. Perrin [21].
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