3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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3) Autres cas particuliers. GL(2, lF 3 ), GL(2, lF 4 ), GL(2, lF 5 )
a) On considère le cas du corps à trois éléments, lF 3 = {- 1, 0, 1}, où on confond un entier
avec sa classe modulo 3. Montrer, par la méthode vue à la question précédente, que
PGL(2, lF 3 ) est isomorphe à S 4 .
b) Montrer que SL(2, lF 3 ), bien qu'ayant le même cardinal, n'est pas isomorphe à
PGL(2, lF 3 ). Montrer enfin que PSL(2, lF 3 ) est isomorphe à Ai.
c) Montrer que PGL(2, lF 4 ) est isomorphe à A 5 • On utilisera l'exercice 3.2. 10. Que dire
des groupes SL(2, lF 4 ) et PSL(2, lF 4 ) ?
d) Montrer que PGL(2, JF 5 ) est isomorphe à S 5 • Même méthode, et on utilisera l'exercice
3.2. 1 1. Que dire de PSL(2,1Fs)?
e) Deux questions concernant des sous-groupes de Sylow. Démontrer que le groupe des
matrices triangulaires unipotentes supérieures est un p-Sylow de GL(n, 1F p ). Déterminer le nombre de ces p-Sylow et regarder, par exemple, le nombre des 3-Sylow de
GL (2,lF 3 ).
3.5.2 Produits semi-directs en géométrie
Dans ce problème, nous allons rencontrer des produits semi-directs dans un cadre géométrique. Ce n'est pas un hasard, car qui dit produit semi-direct dit action de groupe,
et la notion d'action de groupe est la géométrisation de la notion de groupe; un produit
semi-direct a très souvent une interprétation en tant que groupe géométrique. Nous noterons E un espace affine de dimension finie, de direction un espace vectoriel JE. Si/ est
une application affine de E dans &, on note f l'application linéaire associée à/, mais
nous ne rappellerons pas tous les théorèmes de géométrie utilisés.
1) Le groupe affine
a) Montrer que le groupe des translations T(E) est normal dans le groupe affine GA (E)
et que le quotient est isomorphe à GL(IE).
b) Trouver un« relèvement» de GL(IE) dans le groupe affine. En déduire que le groupe
affine est produit semi-direct. Donner une version « interne » et une version « externe »
de cette structure.
c) On suppose que E est muni d'un repère; pour simplifier les écritures on se placera
dans le cas de la dimension 3. On appelle matrice augmentée d'un point x la matrice
colonne:
où (x 1 , x 2 , x 3 ) sont les coordonnées de x. Si / est dans le groupe affine, montrer qu'il
existe une matrice M, telle que la matrice augmentée de x' = f(x) soit
X'=MX
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3) Autres cas particuliers. GL(2, lF 3 ), GL(2, lF 4 ), GL(2, lF 5 )
a) On considère le cas du corps à trois éléments, lF 3 = {- 1, 0, 1}, où on confond un entier
avec sa classe modulo 3. Montrer, par la méthode vue à la question précédente, que
PGL(2, lF 3 ) est isomorphe à S 4 .
b) Montrer que SL(2, lF 3 ), bien qu'ayant le même cardinal, n'est pas isomorphe à
PGL(2, lF 3 ). Montrer enfin que PSL(2, lF 3 ) est isomorphe à Ai.
c) Montrer que PGL(2, lF 4 ) est isomorphe à A 5 • On utilisera l'exercice 3.2. 10. Que dire
des groupes SL(2, lF 4 ) et PSL(2, lF 4 ) ?
d) Montrer que PGL(2, JF 5 ) est isomorphe à S 5 • Même méthode, et on utilisera l'exercice
3.2. 1 1. Que dire de PSL(2,1Fs)?
e) Deux questions concernant des sous-groupes de Sylow. Démontrer que le groupe des
matrices triangulaires unipotentes supérieures est un p-Sylow de GL(n, 1F p ). Déterminer le nombre de ces p-Sylow et regarder, par exemple, le nombre des 3-Sylow de
GL (2,lF 3 ).
3.5.2 Produits semi-directs en géométrie
Dans ce problème, nous allons rencontrer des produits semi-directs dans un cadre géométrique. Ce n'est pas un hasard, car qui dit produit semi-direct dit action de groupe,
et la notion d'action de groupe est la géométrisation de la notion de groupe; un produit
semi-direct a très souvent une interprétation en tant que groupe géométrique. Nous noterons E un espace affine de dimension finie, de direction un espace vectoriel JE. Si/ est
une application affine de E dans &, on note f l'application linéaire associée à/, mais
nous ne rappellerons pas tous les théorèmes de géométrie utilisés.
1) Le groupe affine
a) Montrer que le groupe des translations T(E) est normal dans le groupe affine GA (E)
et que le quotient est isomorphe à GL(IE).
b) Trouver un« relèvement» de GL(IE) dans le groupe affine. En déduire que le groupe
affine est produit semi-direct. Donner une version « interne » et une version « externe »
de cette structure.
c) On suppose que E est muni d'un repère; pour simplifier les écritures on se placera
dans le cas de la dimension 3. On appelle matrice augmentée d'un point x la matrice
colonne:
où (x 1 , x 2 , x 3 ) sont les coordonnées de x. Si / est dans le groupe affine, montrer qu'il
existe une matrice M, telle que la matrice augmentée de x' = f(x) soit
X'=MX
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