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Théorie des groupes
--+
On fera intervenir M la matrice de f , ainsi que la matrice des coordonnées de O',
image de l'origine. Retrouver, dans cette écriture, la structure de produit semi-direct
du groupe affine.
d) Montrer que le sous-groupe des homothéties-translations peut aussi s'écrire comme
produit semi-direct.
e) Reconnaître des groupes affines en petite dimension et avec des corps finis. Y a-t-il un
lien avec l'holomorphe d'un groupe?
2) Le groupe orthogonal
On appelle matrice orthogonale une matrice O de GL (n, R) qui vérifie :
O'O='OO =l
Si l'on suppose l'espace vectoriel R" muni d'une structure d'espace vectoriel euclidien
orienté, la base canonique étant orthonormée directe, les matrices orthogonales sont celles
des endomorphismes qui conservent le produit scalaire, on les appelle transformations
orthogonales.
a) Vérifier que l'ensemble des matrices orthogonales est un groupe noté O(n, R) et appelé
groupe orthogonal. Que reconnaît-on si n= l, n = 2?
b) Montrer que l'ensemble des matrices orthogonales de déterminant positif est un sousgroupe normal de O(n, R). On le note SO(n, R) et on le nomme groupe spécial orthogonal. Le groupe orthogonal est-il produit (semi)-direct de son sous-groupe spécial
avec un autre sous-groupe ?
c) Vérifier que S0(2, R) est commutatif, d'abord directement, puis en vérifiant et en utilisant que 0(2, R) \ S0(2, R) est uniquement formé d'involutions.
d) Déterminer tous les sous-groupes finis de S0(2, R) et de 0(2, R).
e) On considère l'ensemble des quaternions unitaires, c'est-à-dire l'ensemble des éléments q de !Hl tels que :
q = n + l3i + -yj + Bk, avec n 2 + 13
2
+ -y
2
+ 6 2 = l
Vérifier que c'est un sous-groupe (non commutatif) de !Hl, en bijection avec la sphère
1
S 3 .
f) Soit JE l'espace vectoriel des quaternions purs, c'est-à-dire des éléments de !Hl de la
forme:
z =ci+ dj + ek, avec c, d, e ER
On munit JE d'une structure d'espace vectoriel euclidien orienté de sorte que (i,j, k)
soit orthonormée directe et on considère l'application définie par:
(q) = z 1-+ qzq1
Vérifier que est un morphisme de S
3
sur S0(3, R). En préciser l'image et le noyau,
et en déduire l'isomorphisme de groupe:
S
3
/(Z/2) 9! S0(3, R)
1. De façon générale, on note S" la sphère de rayon 1 dans le IR-espace vectoriel de dimension 11 + 1.
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Théorie des groupes
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On fera intervenir M la matrice de f , ainsi que la matrice des coordonnées de O',
image de l'origine. Retrouver, dans cette écriture, la structure de produit semi-direct
du groupe affine.
d) Montrer que le sous-groupe des homothéties-translations peut aussi s'écrire comme
produit semi-direct.
e) Reconnaître des groupes affines en petite dimension et avec des corps finis. Y a-t-il un
lien avec l'holomorphe d'un groupe?
2) Le groupe orthogonal
On appelle matrice orthogonale une matrice O de GL (n, R) qui vérifie :
O'O='OO =l
Si l'on suppose l'espace vectoriel R" muni d'une structure d'espace vectoriel euclidien
orienté, la base canonique étant orthonormée directe, les matrices orthogonales sont celles
des endomorphismes qui conservent le produit scalaire, on les appelle transformations
orthogonales.
a) Vérifier que l'ensemble des matrices orthogonales est un groupe noté O(n, R) et appelé
groupe orthogonal. Que reconnaît-on si n= l, n = 2?
b) Montrer que l'ensemble des matrices orthogonales de déterminant positif est un sousgroupe normal de O(n, R). On le note SO(n, R) et on le nomme groupe spécial orthogonal. Le groupe orthogonal est-il produit (semi)-direct de son sous-groupe spécial
avec un autre sous-groupe ?
c) Vérifier que S0(2, R) est commutatif, d'abord directement, puis en vérifiant et en utilisant que 0(2, R) \ S0(2, R) est uniquement formé d'involutions.
d) Déterminer tous les sous-groupes finis de S0(2, R) et de 0(2, R).
e) On considère l'ensemble des quaternions unitaires, c'est-à-dire l'ensemble des éléments q de !Hl tels que :
q = n + l3i + -yj + Bk, avec n 2 + 13
2
+ -y
2
+ 6 2 = l
Vérifier que c'est un sous-groupe (non commutatif) de !Hl, en bijection avec la sphère
1
S 3 .
f) Soit JE l'espace vectoriel des quaternions purs, c'est-à-dire des éléments de !Hl de la
forme:
z =ci+ dj + ek, avec c, d, e ER
On munit JE d'une structure d'espace vectoriel euclidien orienté de sorte que (i,j, k)
soit orthonormée directe et on considère l'application définie par:
Vérifier que est un morphisme de S
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sur S0(3, R). En préciser l'image et le noyau,
et en déduire l'isomorphisme de groupe:
S
3
/(Z/2) 9! S0(3, R)
1. De façon générale, on note S" la sphère de rayon 1 dans le IR-espace vectoriel de dimension 11 + 1.
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