3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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g) Est-ce que S
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est produit direct ou semi-direct de 'll../2 avec S0(3, R) ?
3) Le groupe des isométries
On revient à l'espace affine ê, et l'on suppose que sa direction JE est munie d'une structure
d'espace vectoriel euclidien orienté. On appelle isométrie une application qui conserve les
distances. On sait que les isométries sont les applications affines dont l'application linéaire
est une transformation orthogonale. L'ensemble des isométries est un groupe noté /(ê).
a) Montrer que l'ensemble J
+
(f;) des isométries directes (c'est-à-dire dont l'application
linéaire associée est dans SO(IE)) est un sous-groupe normal de /(&). Est-ce que /(f;)
est un produit semi-direct de J
+
(f;) avec un autre sous-groupe ?
b) Montrer que le groupe des translations T(f;) est un sous-groupe normal de ]
+
(&). Peuton en déduire une structure de produit semi-direct ?
c) En dimension 2, déterminer tous les sous-groupes finis de /(f;), et en donner une interprétation géométrique. On pourra commencer par montrer qu'il y a forcément un point
invariant unique.
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