3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
77
SOLUTIONS
3.2.1 1) C'est pratiquement la définition. Si H est normal dans K, avec H � K � G, c'est
que gHg1
= H pour tout g de K. Il reste à vérifier que l'ensemble de tels g est bien un
sous-groupe, ce qui est immédiat et résulte également de la question suivante.
2) Dans l'action considérée, N' G (H) est le stabilisateur de H. L'orbite de H, qui est formée de
ses conjugués, contient donc [G : N' G (H) ] éléments.
Si l'on considère l'action par conjugaison non pas sur les sous-groupes mais sur les éléments eux-mêmes, le stabilisateur est le centralisateur, et le nombre des conjugués est
l'indice de ce centralisateur (3. 1.3).
3) Soit H = {e ,(i,j)}. Puisque a o (i ,j) o a- 1 = (a(i) , a(/)), un élément du normalisateur
fixe i et j, ou les échange. Si K est le groupe des permutations qui fixent i et j (de cardinal
(n - 2) !), le normalisateur de H dans G est HK = K C (i,j)K. Il est de cardinal 2(n - 2)!,
car formé de deux ensembles disjoints ayant chacun (n - 2)! éléments. Cela donne
1 1 <1 1
2
1>
conjugués pour H ... Ce sont tous les groupes engendrés par une transposition.
3.2.2 Soit G de cardinal n; supposons que H, distinct de G et de cardinal p, contienne au
moins un élément de chaque classe de conjugaison de G. Si nous appelons k le nombre des
conjugués de H, k > 1 ; en effet, si H était normal dans G, il serait réunion de classes de
conjugaisons, et avec notre hypothèse, il serait donc égal à G. En outre, l'hypothèse implique
également que l'union des conjugués de H est égale à G. De plus, cette union est formée de
e et de la réunion des conjugués des autres éléments de H ; son cardinal est donc inférieur ou
égal à 1 + k(p - 1). On a donc :
n
1
n � 1 + k(p- 1) => k � p - 1 + k
Comme k est différent de 1, cela donne p' = î < p ce qui est absurde car p' = î est le cardinal
du normalisateur de H. Or ce normalisateur contient H.
Vo ici un exemple en cardinal infini. Si G est l'ensemble des matrices carrées à coefficients
complexes, en dimension supérieure à l, la conjugaison est la similitude, et le sous-groupe des
matrices triangulaires supérieures contient un élément de chaque classe, d'après le théorème
de trigonalisation.
k
3.2.3 1) Le cardinal de X est C � 111 • Or ce nombre n'est pas divisible par p. En effet, il peut
s'écrire :
cl - p
k
m(p
k
m - l)(p
k
m - 2) ... (p
k
m - P
k
+ 1)
r f m -
p k (p k _ 1) , , , {l)
Numérateur et dénominateur contiennent le même nombre d'exemplaires du facteur premier p puisque p
k
m - i = p
k
- i (mod pÎ) pour j � k. Le cardinal de X n'est pas divisible
par pe t les orbites forment une partion de X, donc il existe une orbite de cardinal non
divisible par p.
2) Les éléments de A sont formés de p
k
éléments de G. Soit X E A, son stabilisateur Gx est
d'indice non divisible par p puisque IA I = IG/Gx l, Son cardinal es' t donc égal àp
k
m' où
p ne divise pas m'. Mais si x 1 est un élément de X, les gx 1 où g E Gx sont distincts et
sont dans X. Il y en a moins de p
k
, le stabilisateur Gx a donc moins de p
k
éléments, donc
exactement p
k
éléments, c'est un p-Sylow. On comprendra mieux cette démonstration si
on la fait fonctionner sur un exemple, disons le groupe diédral ][)) 10 , avec p = 2. Il y a
www.bibliomath.com