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Théorie des groupes
45 parties à deux éléments qui se découpent en deux orbites à 10 éléments et trois à 5
éléments. Par exemple, l'orbite de { s, r} (avec les notations habituelles) a 5 éléments, et le
stabilisateur de x1 = { s, r} est (sr), qui a deux éléments ...
3) Dans cette action, les orbites ont pour cardinal l'indice dans H du stabilisateur d'un élément, donc une puissance de p. Mais comme G/S est de cardinal m, il y a au moins une
orbite de taille p
0
= 1. Soit xS élément de cette orbite. On a donc hxS = xS pour tout h E H,
ce qui équivaut à H c xsx1
• Si maintenant H est un p-Sylow, il a même cardinal que S
donc que xsx1
, il y a donc égalité. On a prouvé que tous les p-Sylow sont conjugués.
4) C'est une conséquence directe, les p-Sylow sont les conjugués de l'un d'entre eux S; si
donc il y a un seul p-Sylow, ce groupe coïncide avec ses conjugués, il est normal dans G.
Réciproquement, si S est un p-Sylow normal dans G, il coïncide avec ses conjugués, et il
n'y a qu'un seul p-Sylow.
5) On fait agir S sur l'ensemble des p-Sylow, par conjugaison cette fois. Les orbites sont encore de cardinal une puissance de p. Il y a une orbite ayant un seul élément, celle constituée
de S lui-même. Reste à montrer qu'il n'y en a pas d'autre. Si en effet Q est seul dans son
orbite, c'est que xQx1
= Q pour tout x de S. Donc S est un sous-groupe du normalisateur
de Q dans G. C'est alors un p-Sylow de ce normalisateur ... Mais Q est le seul p-Sylow de
son normalisateur (question précédente), donc S = Q. On a donc bien une seule orbite à
un élément, et le nombre c p de p-Sylow vérifie :
c p = I (mod p}
Comme, par ailleurs, c'est aussi le nombre des conjugués de S, c'est l'indice du normalisateur de S, donc un diviseur de m.
3.2.4 1) Les groupes commutatifs n'ont qu'un seul p-Sylow, puisque tous les sous-groupes
sont normaux. Ainsi, si n= p
k
m, dans Z/n, il y a un seul groupe àp
k
éléments, ce qu'on
savait déjà. En revanche, il est moins direct de vérifier que Z/6 x Z/12 n'a qu'un sousgroupe d'ordre 9, qui ne peut être que le groupe« rectangle» 2Z/6 x 4Z/ 12.
Si p =/ 2, le groupe diédral ][)) 211 a un seul p-Sylow. Posons
][))211 = (r, s I r'' = s
2
= e, srs = r1
) avec n = /m où p ne divise pas m
Le groupe engendré par r'
11
est un p-Sylow, et il est normal dans ][)) 211 •
Si p = 2, et le groupe engendré par r'
11
et s est un 2-Sylow, mais il n'est pas normal, et il
existe d'autres 2-Sylow, engendrés par r'
11
et un élément d'ordre deux I s. On peut vérifier
qu'il y a alors m 2-Sylow de cette forme.
2) Les 2-Sylow de S 4 ont huit éléments. On en trouve un en utilisant les éléments d'ordre
2 ou 4, le groupe cyclique engendré par (1, 2, 3, 4) peut être complété en un 2-Sylow en
utilisant 'T = (1, 3). Comme -r(l, 2, 3, 4)-r = (1, 2, 3, 4)1
, on reconnaît le groupe diédral ][)) 8 •
Le nombre des 2-Sylow peut être 1 ou 3. Le premier cas est exclu, car le groupe obtenu ne
contient pas tous les éléments d'ordre 2 ou 4. Il y a donc trois 2-Sylow, isomorphes à ][)) 8 •
Ils sont égaux à leur normalisateur, car l'indice du normalisateur est 3.
Les 2-Sylow de Ss ont aussi huit éléments, et ils se décrivent de la même façon que pour
S 4 • Leur nombre est impair, diviseur de 15. Il y en a effectivement 15, puisqu'il y en a 5
fois plus que dans le cas n = 4. La structure des p-Sylow de S 11 est connue, elle utilise la
notion de « produit en couronne » : voir le problème correspondant du dernier chapitre.
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