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Théorie des groupes
Exercice 3.2.18
1) En utilisant l'exercice précédent, démontrer que tout sous-groupe maximal d'un p-groupe
fini G est normal dans G et est d'indice p. Que dire si G n'est pas un p-groupe ?
2) Démontrer également que si G est d'ordre p" , il admet des sous-groupes normaux d'ordre
i où i est quelconque inférieur à n. On pourra raisonner par récurrence en utilisant le
centre.
3) Démontrer qu'entre tout sous-groupe H et G, il existe une suite de sous-groupes H =
Ho , H 1 , H 2 , ... H 11 = G chacun étant normal et d'indice p dans le suivant. Examiner
l'exemple des groupes à huit éléments. Que dire quand G n'est pas un p-groupe ?
Enfin, deux exercices qui introduisent des généralisations de la notion de sous-groupe
normal.
Exercice 3.2.19
Un sous-groupe H de G est dit pronormal dans G si pour tout x, le groupe xHx1
est conjugué de H dans (H, xHx- 1 ). Bien sûr, tout groupe normal dans G est pronormal dans G. On
se limitera à G fini.
1) Démontrer que tout p-Sylow de G est pronormal dans G.
2) Plus généralement, montrer que si S est un p-Sylow d'un sous-groupe K normal dans G,
alors S est pronormal dans G.
3) Démontrer qu'un p-sous-groupe H de G est pronormal dans G ssi toutp-Sylow ne contient
qu'un seul conjugué de H.
4) Donner un exemple de groupe pronormal dans G qui n'est pas normal dans G.
Exercice 3.2.20
Un sous-groupe H de G est dit sous-normal dans G s'il existe une suite (H;) de sous-groupes
de G telle que
H
dans G est sous-normal dans G.
1) Si Gest un p-groupe fini, démontrer que tous ses sous-groupes sont sous-normaux.
2) Donner un exemple de groupe sous-normal dans G sans être normal dans G. Quels sont
les groupes sous-normaux de S 11 ?
3) Si est un morphisme de groupe et si H est sous-normal dans G, est-ce que (H) est
sous-normal dans(G) ?
4) Montrer que si H
dans G.
6) Montrer qu'un groupe, qui est à la fois pronormal et sous-normal dans G, est aussi normal
dans G.
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Théorie des groupes
Exercice 3.2.18
1) En utilisant l'exercice précédent, démontrer que tout sous-groupe maximal d'un p-groupe
fini G est normal dans G et est d'indice p. Que dire si G n'est pas un p-groupe ?
2) Démontrer également que si G est d'ordre p" , il admet des sous-groupes normaux d'ordre
i où i est quelconque inférieur à n. On pourra raisonner par récurrence en utilisant le
centre.
3) Démontrer qu'entre tout sous-groupe H et G, il existe une suite de sous-groupes H =
Ho , H 1 , H 2 , ... H 11 = G chacun étant normal et d'indice p dans le suivant. Examiner
l'exemple des groupes à huit éléments. Que dire quand G n'est pas un p-groupe ?
Enfin, deux exercices qui introduisent des généralisations de la notion de sous-groupe
normal.
Exercice 3.2.19
Un sous-groupe H de G est dit pronormal dans G si pour tout x, le groupe xHx1
est conjugué de H dans (H, xHx- 1 ). Bien sûr, tout groupe normal dans G est pronormal dans G. On
se limitera à G fini.
1) Démontrer que tout p-Sylow de G est pronormal dans G.
2) Plus généralement, montrer que si S est un p-Sylow d'un sous-groupe K normal dans G,
alors S est pronormal dans G.
3) Démontrer qu'un p-sous-groupe H de G est pronormal dans G ssi toutp-Sylow ne contient
qu'un seul conjugué de H.
4) Donner un exemple de groupe pronormal dans G qui n'est pas normal dans G.
Exercice 3.2.20
Un sous-groupe H de G est dit sous-normal dans G s'il existe une suite (H;) de sous-groupes
de G telle que
H
dans G est sous-normal dans G.
1) Si Gest un p-groupe fini, démontrer que tous ses sous-groupes sont sous-normaux.
2) Donner un exemple de groupe sous-normal dans G sans être normal dans G. Quels sont
les groupes sous-normaux de S 11 ?
3) Si
sous-normal dans
4) Montrer que si H
dans G.
6) Montrer qu'un groupe, qui est à la fois pronormal et sous-normal dans G, est aussi normal
dans G.
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