3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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Exercice 3.2.14 (Lemme de Frattini)
Soit N
G= NNG(S)
Parlons un peu des p-groupes, groupes finis ayant JJ" éléments. Tout p-Sylow est un pgroupe, et l'on constate que, dès que k est un peu grand, il y a énormément de p-groupes
non isomorphes. Par exemple, il y a 51 groupes à 32 éléments, et 10 494 213 groupes
ayant 512 éléments ...
Exercice 3.2.15 (Théorème de Cauchy)
Montrer que si G est un groupe fini de cardinal n et si p est un facteur premier de n, alors il
existe un élément d'ordre p dans G. On pourra introduire
JE= {(x 1 ,x2, ... ,x p )/ x 1 x2 ... x p = 1}
et passer par les étapes suivantes :
1) Calculer le cardinal de JE.
2) Montrer que Z/p agit naturellement sur JE, et que chaque orbite a un ou p éléments. À quoi
correspondent les orbites à un élément ?
3) En déduire le résultat.
4) Retrouver le théorème de Cauchy en utilisant le théorème de Sylow.
La notion de p-groupe n'a pas de sens dans le cas d'un groupe infini ; on décide d'appeler
p-groupe un groupe dont tout élément est d'ordre une puissance de p (avec encore bien
sûr p premier). La première chose à faire est de vérifier que cette nouvelle définition
coïncide avec la précédente dans le cas fini.
Exercice 3.2.16
Soit p un nombre premier. Montrer que pour un groupe fini G, il y a équivalence entre:
(i) L'ordre de tout élément est une puissance de p.
(ii) Le cardinal de G est une puissance de p.
Nous avons déjà montré qu'un p-groupe fini a toujours un centre non trivial (cf. 3.1 .1 5).
Vo ici un lemme important qui suit le même type de démonstration.
Exercice 3.2.17
Démontrer que si H est un sous-groupe propre d'un p-groupe G alors soit H est normal dans
G, soit il existe un conjugué de H, distinct de H, qui est inclus dans le normalisateur dans G
de H. On pourra utiliser l'action par conjugaison de H sur ses conjugués.
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Exercice 3.2.14 (Lemme de Frattini)
Soit N
G= NNG(S)
Parlons un peu des p-groupes, groupes finis ayant JJ" éléments. Tout p-Sylow est un pgroupe, et l'on constate que, dès que k est un peu grand, il y a énormément de p-groupes
non isomorphes. Par exemple, il y a 51 groupes à 32 éléments, et 10 494 213 groupes
ayant 512 éléments ...
Exercice 3.2.15 (Théorème de Cauchy)
Montrer que si G est un groupe fini de cardinal n et si p est un facteur premier de n, alors il
existe un élément d'ordre p dans G. On pourra introduire
JE= {(x 1 ,x2, ... ,x p )/ x 1 x2 ... x p = 1}
et passer par les étapes suivantes :
1) Calculer le cardinal de JE.
2) Montrer que Z/p agit naturellement sur JE, et que chaque orbite a un ou p éléments. À quoi
correspondent les orbites à un élément ?
3) En déduire le résultat.
4) Retrouver le théorème de Cauchy en utilisant le théorème de Sylow.
La notion de p-groupe n'a pas de sens dans le cas d'un groupe infini ; on décide d'appeler
p-groupe un groupe dont tout élément est d'ordre une puissance de p (avec encore bien
sûr p premier). La première chose à faire est de vérifier que cette nouvelle définition
coïncide avec la précédente dans le cas fini.
Exercice 3.2.16
Soit p un nombre premier. Montrer que pour un groupe fini G, il y a équivalence entre:
(i) L'ordre de tout élément est une puissance de p.
(ii) Le cardinal de G est une puissance de p.
Nous avons déjà montré qu'un p-groupe fini a toujours un centre non trivial (cf. 3.1 .1 5).
Vo ici un lemme important qui suit le même type de démonstration.
Exercice 3.2.17
Démontrer que si H est un sous-groupe propre d'un p-groupe G alors soit H est normal dans
G, soit il existe un conjugué de H, distinct de H, qui est inclus dans le normalisateur dans G
de H. On pourra utiliser l'action par conjugaison de H sur ses conjugués.
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