74
Théorie des groupes
L'exercice suivant montre que le groupe alterné est simple pour lorsque n > 5. Les cas
n = 2, 3, 4 se traitent facilement : n = 2, le groupe alterné est trivial, n = 3, le groupe
alterné est d'ordre 3, il est simple ; pour n = 4, le groupe alterné contient un sous-groupe
normal, le groupe des doubles transpositions.
Exercice 3.2.9 (Simplicité du groupe alterné (cas général))
On suppose donc que n > 5 et que H
-r1
est dans H.
2) En prenant i tel que -r(i) = j, j =I i, et en utilisant k distinct de i,j, -r(j), construire un 3-cycle
cr, tel que cr-rcr1
-r1
laisse fixes au moins n - 5 éléments.
3) En déduire que H contient un 3-cycle, puis que H = A,, .
Le groupe S 11 n'est pas simple, mais il contient très peu de sous-groupes normaux.
Exercice 3.2.10
Montrer que, pour n ;;;:: 5, les seuls sous-groupes normaux de S,, sont les sous-groupes« triviaux » et le groupe alterné.
Exercice 3.2.1 1
1) Soit G un groupe, H un sous-groupe. On a déjà utilisé le fait que G agit sur l'ensemble
quotient G /H par translation à gauche. Montrer que le noyau de cette action est l' intersection des conjugués de H.
2) Vérifier que c'est le plus grand sous-groupe normal dans G et inclus dans H.
3) En déduire que si H est un sous-groupe d'indice n de S,, , alors il est isomorphe à S,,_ 1 ,
Après cet intermède sur les groupes symétriques et alternés, revenons à des applications
variées des théorèmes de Sylow.
Exercice 3.2.12
Démontrer que si p est le plus petit facteur premier du cardinal de G, alors un sous-groupe
d'indice p (s'il en existe), est forcément normal dans G.
Exercice 3.2.13
Soit Sun p-groupe de Sylow d'un groupe G. On note N son normalisateur dans G. Démontrer
que N est un groupe autonormalisant, c'est-à-dire que son normalisateur dans G est lui-même.
Que dire si S, lui-même, est autonormalisant ? Donner des exemples.
Soit plus généralement H un sous-groupe tel que N � H � G. Démontrer que H est également autonormalisant.
www.bibliomath.com
Théorie des groupes
L'exercice suivant montre que le groupe alterné est simple pour lorsque n > 5. Les cas
n = 2, 3, 4 se traitent facilement : n = 2, le groupe alterné est trivial, n = 3, le groupe
alterné est d'ordre 3, il est simple ; pour n = 4, le groupe alterné contient un sous-groupe
normal, le groupe des doubles transpositions.
Exercice 3.2.9 (Simplicité du groupe alterné (cas général))
On suppose donc que n > 5 et que H
-r1
est dans H.
2) En prenant i tel que -r(i) = j, j =I i, et en utilisant k distinct de i,j, -r(j), construire un 3-cycle
cr, tel que cr-rcr1
-r1
laisse fixes au moins n - 5 éléments.
3) En déduire que H contient un 3-cycle, puis que H = A,, .
Le groupe S 11 n'est pas simple, mais il contient très peu de sous-groupes normaux.
Exercice 3.2.10
Montrer que, pour n ;;;:: 5, les seuls sous-groupes normaux de S,, sont les sous-groupes« triviaux » et le groupe alterné.
Exercice 3.2.1 1
1) Soit G un groupe, H un sous-groupe. On a déjà utilisé le fait que G agit sur l'ensemble
quotient G /H par translation à gauche. Montrer que le noyau de cette action est l' intersection des conjugués de H.
2) Vérifier que c'est le plus grand sous-groupe normal dans G et inclus dans H.
3) En déduire que si H est un sous-groupe d'indice n de S,, , alors il est isomorphe à S,,_ 1 ,
Après cet intermède sur les groupes symétriques et alternés, revenons à des applications
variées des théorèmes de Sylow.
Exercice 3.2.12
Démontrer que si p est le plus petit facteur premier du cardinal de G, alors un sous-groupe
d'indice p (s'il en existe), est forcément normal dans G.
Exercice 3.2.13
Soit Sun p-groupe de Sylow d'un groupe G. On note N son normalisateur dans G. Démontrer
que N est un groupe autonormalisant, c'est-à-dire que son normalisateur dans G est lui-même.
Que dire si S, lui-même, est autonormalisant ? Donner des exemples.
Soit plus généralement H un sous-groupe tel que N � H � G. Démontrer que H est également autonormalisant.
www.bibliomath.com