3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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Exercice 3.2.4
1) Déterminer les p-Sylow de Z/n, (pour p diviseur de n), de Z/6 x Z/ 12, de ][))2 11 (p = 2 ou
p diviseur de n).
2) Chercher les 2-Sylow de S4 et de Ss et les reconnaître.
Le charme des théorèmes de Sylow est qu'ils n'utilisent que le cardinal du groupe G,
cela permet parfois de donner un résultat général concernant tous les groupes ayant un
cardinal donné. Commençons par examiner le problème de la simplicité.
1
Exercice 3.2.5
1) En utilisant le troisième théorème de Sylow, démontrer qu'il n'y a pas de groupe simple
ayant 30, 42, ou 105 éléments.
2) Généraliser aux groupes ayant pqr éléments, où p, q et r sont distincts et premiers. On
pourra raisonner par l'absurde, et poser p > q > r.
Exercice 3.2.6
Démontrer qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 300. On pourra étudier le normalisateur
d'un 5-Sylow.
Exercice 3.2.7
Montrer qu'un groupe simple d'ordre au moins r! ne peut avoir de sous-groupe d'indice r.
Vo ici maintenant d'autres applications, et pour commencer des applications au groupe
symétrique.
Exercice 3.2.8 (Étude du groupe A 5 )
Ce groupe est formé des permutations paires de 5 éléments. Rappelons qu'il contient :
- 15 éléments d'ordre 2 (les doubles transpositions);
- 20 éléments d'ordre 3 (les 3-cycles);
- 24 éléments d'ordre 5 (les 5-cycles);
- et l'identité, bien sûr.
1) Démontrer que les 3-cycles forment une classe de conjugaison dans A s . Étudier également
les doubles transpositions.
2) Démontrer que si H
3) En utilisant qu'un sous-groupe normal est réunion de classes de conjugaison, démontrer
que A s est simple.
1. Rappelons qu'un groupe est simple s'il n'a pas d'autre sous-groupe normal que lui-même ou l'élément
neutre.
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Exercice 3.2.4
1) Déterminer les p-Sylow de Z/n, (pour p diviseur de n), de Z/6 x Z/ 12, de ][))2 11 (p = 2 ou
p diviseur de n).
2) Chercher les 2-Sylow de S4 et de Ss et les reconnaître.
Le charme des théorèmes de Sylow est qu'ils n'utilisent que le cardinal du groupe G,
cela permet parfois de donner un résultat général concernant tous les groupes ayant un
cardinal donné. Commençons par examiner le problème de la simplicité.
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Exercice 3.2.5
1) En utilisant le troisième théorème de Sylow, démontrer qu'il n'y a pas de groupe simple
ayant 30, 42, ou 105 éléments.
2) Généraliser aux groupes ayant pqr éléments, où p, q et r sont distincts et premiers. On
pourra raisonner par l'absurde, et poser p > q > r.
Exercice 3.2.6
Démontrer qu'il n'y a pas de groupe simple d'ordre 300. On pourra étudier le normalisateur
d'un 5-Sylow.
Exercice 3.2.7
Montrer qu'un groupe simple d'ordre au moins r! ne peut avoir de sous-groupe d'indice r.
Vo ici maintenant d'autres applications, et pour commencer des applications au groupe
symétrique.
Exercice 3.2.8 (Étude du groupe A 5 )
Ce groupe est formé des permutations paires de 5 éléments. Rappelons qu'il contient :
- 15 éléments d'ordre 2 (les doubles transpositions);
- 20 éléments d'ordre 3 (les 3-cycles);
- 24 éléments d'ordre 5 (les 5-cycles);
- et l'identité, bien sûr.
1) Démontrer que les 3-cycles forment une classe de conjugaison dans A s . Étudier également
les doubles transpositions.
2) Démontrer que si H
3) En utilisant qu'un sous-groupe normal est réunion de classes de conjugaison, démontrer
que A s est simple.
1. Rappelons qu'un groupe est simple s'il n'a pas d'autre sous-groupe normal que lui-même ou l'élément
neutre.
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