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Théorie des groupes
Exercice 3.2.1
1) Montrer que le normalisateur de H est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est
normal.
2) On appelle conjugué du sous-groupe H son image par un automorphisme intérieur. En
utilisant l'action de G sur ses sous-groupes par automorphisme intérieur, démontrer que le
nombre des conjugués de H est l'indice de son normalisateur (dans le cas où cet indice est
fini). Montrer, de même, que le nombre des conjugués d'un élément de G est l'indice de
son centralisateur.
3) Étudier le normalisateur dans S,, du groupe engendré par une transposition.
L'exercice suivant utilise encore cette action par conjugaison.
Exercice 3.2.2
Si G est un groupe fini, démontrer qu'il n'existe aucun sous-groupe strict qui contienne au
moins un représentant de chaque classe de conjugaison des éléments de G. Trouver un contreexemple dans le cas d'un groupe infini.
L'exercice suivant propose une des démonstrations de l'existence des p-Sylow d'un
groupe fini, mais aussi des deux autres théorèmes de Sylow.
Exercice 3.2.3
Soit G un groupe ayant p
k
m éléments, où m ;;;i: 1 n'est pas divisible par p premier.
l) On appelle X l'ensemble des sous-ensembles de G ayant p
k
éléments. Alors G agit sur X
par translation à gauche. Calculer le cardinal de X et démontrer qu'il existe au moins une
orbite dont le cardinal n'est pas divisible par p.
2) Soit alors A une telle orbite, Gx le stabilisateur d'un élément X de A. Démontrer que Gx
est un p-Sylow de G. En déduire le premier théorème de Sylow: tout groupe fini dont le
cardinal est divisible par p admet un p-Sylow.
3) Changeons d'action. Soit Su n p-Sylow de G, et H un p-groupe de G. En faisant agir H
sur G /S par translation à gauche, démontrer que H est inclus dans un conjugué de S. En
particulier, tous les p-Sylow de G sont des conjugués de S. Ce résultat constitue le second
théorème de Sylow.
4) En déduire que si un groupe admet un seul p-Sylow, celui-ci est normal dans G, et réciproquement si G ap-Sylow normal, c'est le seul p-Sylow de G.
5) Utiliser cette fois l'action de conjugaison de S sur les p-Sylow, et démontrer que le nombre
c p de ces p-Sylow est congru à l modulo p. Démontrer également que c p est un diviseur
de m. C'est le troisième théorème de Sylow.
On peut commencer par« vérifier» nos trois théorèmes, en cherchant les p-Sylow de
groupes déjà connus.
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Théorie des groupes
Exercice 3.2.1
1) Montrer que le normalisateur de H est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est
normal.
2) On appelle conjugué du sous-groupe H son image par un automorphisme intérieur. En
utilisant l'action de G sur ses sous-groupes par automorphisme intérieur, démontrer que le
nombre des conjugués de H est l'indice de son normalisateur (dans le cas où cet indice est
fini). Montrer, de même, que le nombre des conjugués d'un élément de G est l'indice de
son centralisateur.
3) Étudier le normalisateur dans S,, du groupe engendré par une transposition.
L'exercice suivant utilise encore cette action par conjugaison.
Exercice 3.2.2
Si G est un groupe fini, démontrer qu'il n'existe aucun sous-groupe strict qui contienne au
moins un représentant de chaque classe de conjugaison des éléments de G. Trouver un contreexemple dans le cas d'un groupe infini.
L'exercice suivant propose une des démonstrations de l'existence des p-Sylow d'un
groupe fini, mais aussi des deux autres théorèmes de Sylow.
Exercice 3.2.3
Soit G un groupe ayant p
k
m éléments, où m ;;;i: 1 n'est pas divisible par p premier.
l) On appelle X l'ensemble des sous-ensembles de G ayant p
k
éléments. Alors G agit sur X
par translation à gauche. Calculer le cardinal de X et démontrer qu'il existe au moins une
orbite dont le cardinal n'est pas divisible par p.
2) Soit alors A une telle orbite, Gx le stabilisateur d'un élément X de A. Démontrer que Gx
est un p-Sylow de G. En déduire le premier théorème de Sylow: tout groupe fini dont le
cardinal est divisible par p admet un p-Sylow.
3) Changeons d'action. Soit Su n p-Sylow de G, et H un p-groupe de G. En faisant agir H
sur G /S par translation à gauche, démontrer que H est inclus dans un conjugué de S. En
particulier, tous les p-Sylow de G sont des conjugués de S. Ce résultat constitue le second
théorème de Sylow.
4) En déduire que si un groupe admet un seul p-Sylow, celui-ci est normal dans G, et réciproquement si G ap-Sylow normal, c'est le seul p-Sylow de G.
5) Utiliser cette fois l'action de conjugaison de S sur les p-Sylow, et démontrer que le nombre
c p de ces p-Sylow est congru à l modulo p. Démontrer également que c p est un diviseur
de m. C'est le troisième théorème de Sylow.
On peut commencer par« vérifier» nos trois théorèmes, en cherchant les p-Sylow de
groupes déjà connus.
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