3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
3 . 1 . 17 Soit E l'ensemble des couples (g, x) où g .x = x. Alors,
IEI = L IFix(g)I = L IG. r l
gEG
xEX
Si A est une transversale de X, on a donc :
IEI = L I Gx llG x l = IGIIA I
xEA
Le nombre des orbites, soit IA I , est donc:
IA I = l � I L IFix(g)I
gEG
71
3.1.18 Le groupe symétrique S,, agit sur l'ensemble des coloriages (applications de
{ 1, ... , n} dans { 1, ... , p} ), mais pour ce qui nous concerne, on se limite au sous-groupe
cyclique engendré par la permutation circulaire u = ( 1, 2, .. . , n ). Deux roues seront en effet
identiques si elles se déduisent l'une de l'autre par une puissance de CT, c'est-à-dire si elles
sont dans la même orbite. Le nombre de roues est donc le nombre d'orbites. Pour appliquer
la formule précédente, reste à déterminer le nombre des points fixes par une permutation T.
Supposons que T soit produit de k cycles (y compris les points fixes, comptant pour un cycle).
Alors, un coloriage doit être constant sur chacun de ces cycles pour être fixe par T ; le nombre
de coloriages fixes est donc p
k . Ainsi, pour la permutation circulaire CT, il y a p coloriages
fixes, les roues dont tous les secteurs ont la même couleur.
Il faut ensuite déterminer le nombre de cycles que contient la puissance m de CT, c'est 1 ssi
m est premier avec n, m /\ n en général. On peut indexer la somme sur les diviseurs de n, en
tenant compte que le nombre d'exposants m tels que m /\ n = d est q,(n/d) (voir l'étude des
sous-groupes des groupes cycliques). En définitive:
nombre de roues = � L q, ( S ) p
d
dl11
Par exemple, avec p couleurs et trois secteurs, on trouve !(2p + p
3
), pour quatre secteurs
!(2p + p
2
+ p
4
) ce que confirment des dénombrements directs.
3.2 LES THÉORÈMES DE SYLOW
Ils sont très importants pour les groupes finis. Ils permettent d'affirmer l'existence de
sous-groupes ayant un cardinal donné, et donc fournissent une réciproque - partielle -
au théorème de Lagrange. Plus précisément, soit G un groupe fini de cardinal n = p
k m
où p est un nombre premier qui ne divise pas m. Alors il existe au moins un sous-groupe
d'ordre p
k
. Un tel sous-groupe sera appelé un p-Sylow de G. On rappelle qu'un p-groupe
fini est un groupe dont le cardinal est une puissance de p, et on montrera que tout p-sous
groupe de G est inclus dans un p-Sylow de G.
Les démonstrations des théorèmes de Sylow sont un florilège d'actions de groupes. Avant
de les aborder, un point de vocabulaire. On appelle normalisateur de H dans G l'ensemble des éléments g de G tels que gHg1
= H. Il sera noté NG (H).
www.bibliomath.com
3 . 1 . 17 Soit E l'ensemble des couples (g, x) où g .x = x. Alors,
IEI = L IFix(g)I = L IG. r l
gEG
xEX
Si A est une transversale de X, on a donc :
IEI = L I Gx llG x l = IGIIA I
xEA
Le nombre des orbites, soit IA I , est donc:
IA I = l � I L IFix(g)I
gEG
71
3.1.18 Le groupe symétrique S,, agit sur l'ensemble des coloriages (applications de
{ 1, ... , n} dans { 1, ... , p} ), mais pour ce qui nous concerne, on se limite au sous-groupe
cyclique engendré par la permutation circulaire u = ( 1, 2, .. . , n ). Deux roues seront en effet
identiques si elles se déduisent l'une de l'autre par une puissance de CT, c'est-à-dire si elles
sont dans la même orbite. Le nombre de roues est donc le nombre d'orbites. Pour appliquer
la formule précédente, reste à déterminer le nombre des points fixes par une permutation T.
Supposons que T soit produit de k cycles (y compris les points fixes, comptant pour un cycle).
Alors, un coloriage doit être constant sur chacun de ces cycles pour être fixe par T ; le nombre
de coloriages fixes est donc p
k . Ainsi, pour la permutation circulaire CT, il y a p coloriages
fixes, les roues dont tous les secteurs ont la même couleur.
Il faut ensuite déterminer le nombre de cycles que contient la puissance m de CT, c'est 1 ssi
m est premier avec n, m /\ n en général. On peut indexer la somme sur les diviseurs de n, en
tenant compte que le nombre d'exposants m tels que m /\ n = d est q,(n/d) (voir l'étude des
sous-groupes des groupes cycliques). En définitive:
nombre de roues = � L q, ( S ) p
d
dl11
Par exemple, avec p couleurs et trois secteurs, on trouve !(2p + p
3
), pour quatre secteurs
!(2p + p
2
+ p
4
) ce que confirment des dénombrements directs.
3.2 LES THÉORÈMES DE SYLOW
Ils sont très importants pour les groupes finis. Ils permettent d'affirmer l'existence de
sous-groupes ayant un cardinal donné, et donc fournissent une réciproque - partielle -
au théorème de Lagrange. Plus précisément, soit G un groupe fini de cardinal n = p
k m
où p est un nombre premier qui ne divise pas m. Alors il existe au moins un sous-groupe
d'ordre p
k
. Un tel sous-groupe sera appelé un p-Sylow de G. On rappelle qu'un p-groupe
fini est un groupe dont le cardinal est une puissance de p, et on montrera que tout p-sous
groupe de G est inclus dans un p-Sylow de G.
Les démonstrations des théorèmes de Sylow sont un florilège d'actions de groupes. Avant
de les aborder, un point de vocabulaire. On appelle normalisateur de H dans G l'ensemble des éléments g de G tels que gHg1
= H. Il sera noté NG (H).
www.bibliomath.com