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Théorie des groupes
3.1 .16 1) Des exemples en géométrie affine. Le groupe des translations agit sur un espace
affine de façon transitive, étant donnés deux points distincts A et B, il existe un vecteur ,1
-
tel que B = t,t(A). Le vecteur ,1 est d'ailleurs unique et s'écrit ,1 =AB. En revanche, il
n'agit pas doublement transitivement. Mais dès la dimension un, le groupe affine agit doublement transitivement. En dimension un, cela se traduit par l'énoncé : il existe toujours
une application affine prenant des valeurs données en deux points distincts donnés.
2) Soit H le stabilisateur d'un élément x. Commençons par remarquer qu'une action doublement transitive est... transitive. Les stabilisateurs de tous les éléments sont donc des
groupes conjugués (et donc isomorphes). Soit H le stabilisateur de x et g un élément de
G qui n'est pas dans H. On va montrer que G = HU HgH, ce qui montrera que tout
groupe contenant H et g est égal à G, et donc que H est maximal. Posons g.x = y et soit g'
quelconque qui n'est pas dans H ; on pose g' .x = y' . Alors il existe h E H tel que :
h.x = x et h.y = y'
puisque 1 ' action est doublement transitive et x -:/ y et x -:/y'. Mais alors g'- 1 hg vérifie :
g'- 1 hg .X = g
1
-
1 h.y = g
1
-
1 .y
1
= X
et est donc dans H. On en déduit que g' E HgH.
La réciproque de notre énoncé est fausse, voilà un contre-exemple. Prenons pour G le
groupe cyclique engendré par la permutation CJ' = (1, 2, 3, 4, 5). Alors le stabilisateur de
1 est l'identité, qui est un sous-groupe maximal de G '2:t Z/5, mais l'action n'est pas
doublement transitive, 1 f-t 2 et 2 f-t 4 sont incompatibles.
1
3) Une action est triplement transitive si, pour trois éléments distincts x 1 , x 2 , x 3 de X, et trois
éléments Y1 ,Y2,Y3 de X, il existe un élément g de G tel que Y1 = g.x 1 ,Y2 = g.x2,Y3 = g.x3 .
Exemple, le groupe symétrique agit triplement transitivement sur les triplets d'éléments
distincts de { 1, 2, ... , n}. En fait, le groupe symétrique agit même n fois transitivement
sur le même ensemble ... Et c'est exceptionnel.
4) On se donne trois droites vectorielles distinctes du plan. Appelons u, v, w des vecteurs
directeurs. Alors, u et v sont indépendants, et l'on peut écrire w sous la forme :
w = exu + [3v,
ex, f3 E OC*
De même, si 1 ' on se donne encore trois droites, dirigées par u', v' , w' on peut de même
écrire
w' = ex'u' + f3'v' ,
ex, f3 E 1K
Il suffit alors de définir f E G par f(exu) = ex'u' et /(f3v) = f3'v'. En revanche, cela ne
marche plus forcément avec quatre droites ; prendre celles dirigées par u, v, u + v, u - v et
essayer de les transformer en celles dirigées par u, v, u + v, u - 2v.
En dimension 3, l'action n'est plus triplement transitive. Si l'on se donne trois droites
distinctes coplanaires, elles ne peuvent être transformées en trois droites distinctes non coplanaires. L' action sur les plans est également doublement transitive, mais non triplement :
considérer trois plans ayant une droite en commun qui ne peuvent être envoyés sur trois
plans distincts quelconques.
1 . Les groupes de permutations transitifs, qui ont la propriété que les stabilisateurs sont maximaux, sont
néanmoins importants ; on les appelle groupes primitifs. Vo ir le problème 4 du dernier chapitre.
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Théorie des groupes
3.1 .16 1) Des exemples en géométrie affine. Le groupe des translations agit sur un espace
affine de façon transitive, étant donnés deux points distincts A et B, il existe un vecteur ,1
-
tel que B = t,t(A). Le vecteur ,1 est d'ailleurs unique et s'écrit ,1 =AB. En revanche, il
n'agit pas doublement transitivement. Mais dès la dimension un, le groupe affine agit doublement transitivement. En dimension un, cela se traduit par l'énoncé : il existe toujours
une application affine prenant des valeurs données en deux points distincts donnés.
2) Soit H le stabilisateur d'un élément x. Commençons par remarquer qu'une action doublement transitive est... transitive. Les stabilisateurs de tous les éléments sont donc des
groupes conjugués (et donc isomorphes). Soit H le stabilisateur de x et g un élément de
G qui n'est pas dans H. On va montrer que G = HU HgH, ce qui montrera que tout
groupe contenant H et g est égal à G, et donc que H est maximal. Posons g.x = y et soit g'
quelconque qui n'est pas dans H ; on pose g' .x = y' . Alors il existe h E H tel que :
h.x = x et h.y = y'
puisque 1 ' action est doublement transitive et x -:/ y et x -:/y'. Mais alors g'- 1 hg vérifie :
g'- 1 hg .X = g
1
-
1 h.y = g
1
-
1 .y
1
= X
et est donc dans H. On en déduit que g' E HgH.
La réciproque de notre énoncé est fausse, voilà un contre-exemple. Prenons pour G le
groupe cyclique engendré par la permutation CJ' = (1, 2, 3, 4, 5). Alors le stabilisateur de
1 est l'identité, qui est un sous-groupe maximal de G '2:t Z/5, mais l'action n'est pas
doublement transitive, 1 f-t 2 et 2 f-t 4 sont incompatibles.
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3) Une action est triplement transitive si, pour trois éléments distincts x 1 , x 2 , x 3 de X, et trois
éléments Y1 ,Y2,Y3 de X, il existe un élément g de G tel que Y1 = g.x 1 ,Y2 = g.x2,Y3 = g.x3 .
Exemple, le groupe symétrique agit triplement transitivement sur les triplets d'éléments
distincts de { 1, 2, ... , n}. En fait, le groupe symétrique agit même n fois transitivement
sur le même ensemble ... Et c'est exceptionnel.
4) On se donne trois droites vectorielles distinctes du plan. Appelons u, v, w des vecteurs
directeurs. Alors, u et v sont indépendants, et l'on peut écrire w sous la forme :
w = exu + [3v,
ex, f3 E OC*
De même, si 1 ' on se donne encore trois droites, dirigées par u', v' , w' on peut de même
écrire
w' = ex'u' + f3'v' ,
ex, f3 E 1K
Il suffit alors de définir f E G par f(exu) = ex'u' et /(f3v) = f3'v'. En revanche, cela ne
marche plus forcément avec quatre droites ; prendre celles dirigées par u, v, u + v, u - v et
essayer de les transformer en celles dirigées par u, v, u + v, u - 2v.
En dimension 3, l'action n'est plus triplement transitive. Si l'on se donne trois droites
distinctes coplanaires, elles ne peuvent être transformées en trois droites distinctes non coplanaires. L' action sur les plans est également doublement transitive, mais non triplement :
considérer trois plans ayant une droite en commun qui ne peuvent être envoyés sur trois
plans distincts quelconques.
1 . Les groupes de permutations transitifs, qui ont la propriété que les stabilisateurs sont maximaux, sont
néanmoins importants ; on les appelle groupes primitifs. Vo ir le problème 4 du dernier chapitre.
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