3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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de G sur G/H et sur G/H' sont isomorphes. (H est alors le stabilisateur de x = H). Réciproquement, soit/ un isomorphisme d'action entre G/H' et G/H. Alors:
g E G t(x) {::::::} g f (x) = f(x) {::::::} f(g.x) = f(x) {::::::} g.x = x {::::::} g E G x
prouve que x et f(x) ont même stabilisateur (on .a utilisé que / était bijective). Si l'on
applique cela à x = H', en posant/(x) = gH, on trouve que le stabilisateur de x qui est H',
est aussi le stabilisateur de gH, qui est gHg1
• Remarquons que l'application / est alors
définie par f : kH' 1--t kgH.
3.1.13 Soit h la matrice (: � ) . Alors
h.z =
az + c
=
ablzl
2
+ (bcz + adz) + cd
bz + d
lbz + dl 2
La partie imaginaire de h.z est donc :
(ad - be) Im(z)
lbz + dl 2
Comme par hypothèse, le déterminant de h est l, on voit que tout complexe de partie imaginaire strictement positive a pour image un complexe de partie imaginaire strictement positive.
De plus, un calcul simple montre bien qu'il s'agit d'une action, avec des notations évidentes:
a
a 'z+c' +C
/
/
/
/
h. ( h' . ) = ï7i.+ëF =
(aa + cb )z + ac + cd
= ( hh').
Z
b
a 'z+c' + d (a'b + db ' )z +be ' + dd '
Z
b'z+d'
Cette action n'est pas fidèle, on voit facilement que son noyau est formé de la matrice de
l'identité et de son opposée. Le stabilisateur de i est formé des matrices h telles que
ai + c = -b + di {::::::} a = d et b = -c
Comme le déterminant est égal à l, on trouve toutes les matrices orthogonales directes. Enfin
l'orbite de i est le demi-plan de Poincaré tout entier, puisque le complexe x + iy où x est réel
et y est réel strictement positif est l'image de i par h de matrice ( '{! ;j 1). L'action est
donc transitive.
3.1 .14 Si G agit sur X, les orbites sont des classes d'équivalence. Elles sont donc disjointes,
et forment une partition de X; reste à évaluer le cardinal d'une classe, c'est ce qui est fait
dans l'exercice 3.l.10. On obtient alors la formule demandée.
3.1 .15 l) Si x est dans le centre de G, gxg1
= x pour tout g, x est seul dans son orbite.
2) L'orbite de x a pour cardinal IGI/IG x l, la formule des classes donne le résultat demandé:
IGI = I Z ( G ) I + L l �; I
xEA
3) Dans l'égalité précédente IGI, l�; I
sont des multiples de p (puisque x n'étant pas dans le
centre, G x n'est pas G tout entier). On en déduit que le cardinal du centre est multiple de
p. Puisqu'il est non vide (cf. l'élément neutre), il contient au moins p éléments.
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de G sur G/H et sur G/H' sont isomorphes. (H est alors le stabilisateur de x = H). Réciproquement, soit/ un isomorphisme d'action entre G/H' et G/H. Alors:
g E G t(x) {::::::} g f (x) = f(x) {::::::} f(g.x) = f(x) {::::::} g.x = x {::::::} g E G x
prouve que x et f(x) ont même stabilisateur (on .a utilisé que / était bijective). Si l'on
applique cela à x = H', en posant/(x) = gH, on trouve que le stabilisateur de x qui est H',
est aussi le stabilisateur de gH, qui est gHg1
• Remarquons que l'application / est alors
définie par f : kH' 1--t kgH.
3.1.13 Soit h la matrice (: � ) . Alors
h.z =
az + c
=
ablzl
2
+ (bcz + adz) + cd
bz + d
lbz + dl 2
La partie imaginaire de h.z est donc :
(ad - be) Im(z)
lbz + dl 2
Comme par hypothèse, le déterminant de h est l, on voit que tout complexe de partie imaginaire strictement positive a pour image un complexe de partie imaginaire strictement positive.
De plus, un calcul simple montre bien qu'il s'agit d'une action, avec des notations évidentes:
a
a 'z+c' +C
/
/
/
/
h. ( h' . ) = ï7i.+ëF =
(aa + cb )z + ac + cd
= ( hh').
Z
b
a 'z+c' + d (a'b + db ' )z +be ' + dd '
Z
b'z+d'
Cette action n'est pas fidèle, on voit facilement que son noyau est formé de la matrice de
l'identité et de son opposée. Le stabilisateur de i est formé des matrices h telles que
ai + c = -b + di {::::::} a = d et b = -c
Comme le déterminant est égal à l, on trouve toutes les matrices orthogonales directes. Enfin
l'orbite de i est le demi-plan de Poincaré tout entier, puisque le complexe x + iy où x est réel
et y est réel strictement positif est l'image de i par h de matrice ( '{! ;j 1). L'action est
donc transitive.
3.1 .14 Si G agit sur X, les orbites sont des classes d'équivalence. Elles sont donc disjointes,
et forment une partition de X; reste à évaluer le cardinal d'une classe, c'est ce qui est fait
dans l'exercice 3.l.10. On obtient alors la formule demandée.
3.1 .15 l) Si x est dans le centre de G, gxg1
= x pour tout g, x est seul dans son orbite.
2) L'orbite de x a pour cardinal IGI/IG x l, la formule des classes donne le résultat demandé:
IGI = I Z ( G ) I + L l �; I
xEA
3) Dans l'égalité précédente IGI, l�; I
sont des multiples de p (puisque x n'étant pas dans le
centre, G x n'est pas G tout entier). On en déduit que le cardinal du centre est multiple de
p. Puisqu'il est non vide (cf. l'élément neutre), il contient au moins p éléments.
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