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Théorie des groupes
rr = (1, 2, 3), la matrice P .M est ( t ) -Un truc : pouc avofr la matrice Pa, il suffit de
faire subir cette transformation à la matrice de l'identité.
3) Cette fois, MP a a pour coefficients (m; a u)), il s'agira d'une permutation des colonnes, et
d'une action à droite. Si (}'= (1, 2, 3), la matrice MP a est: (C2, C 3 , C 1 ),
3.1 .10 1) L'application f est bien définie si gG x = g'G. n c'est que g1
g' E G x , donc
g1
g' .x = x soit g' .x = g.x. Ce même calcul, fait à l'envers, montre que / est injective.
De plus, / est surjective par définition même de l'orbite de x.
2) Gest un groupe à six éléments. Si l'on pose r= goh, r(z) = 1- f et r
2
(z) = t �z' r
3
(z) = z.
Le dernier élément du groupe est k =ho r : z 1--7 z.:_ 1 , il est d'ordre 2 comme g et h. On
reconnaît ainsi le groupe S3 . Faisons agir G sur C \ {O, l}. L'orbite de z contient donc au
maximum six éléments qui sont :
1
z z - 1
z, -, -1
, -- , 1- z,
z zz
1- z
Si ces éléments sont distincts, le stabilisateur est réduit à l'identité. En cherchant si ce1tains
de ces éléments sont égaux, on trouve qu'il y a deux cas particuliers. Si z est égal à -1 , à
! ou à 2, l'orbite a trois éléments (qui sont ces trois complexes) et les stabilisateurs sont
les sous-groupes à deux éléments { e, h}, {e, g}, { e, k}. Si z est -j ou -j
2
(j et j
2
sont les
racines cubiques de l'unité), l'orbite a deux éléments, et le stabilisateur est { e, r, r
2
}. On
vérifie bien qu'il y a dans tous les cas, bijection de G/Gz avec Gz. Cette action est liée à
la notion de birapport, rencontrée en géométrie.
3.1.11 f est définie par:
f : hG x 1--7 h.x
Les actions de G sur G/G x et de G sur Gx sont définies par:
g.(hG x ) = (g h)G x
g.(h.x) = (g h) .x
On a alors:
f(g.hG x ) = f(ghG x ) = gh.x et gf(hG x ) = g.h.x
Comme par ailleurs/ est bijective, c'est bien un isomorphisme d'action. Ainsi, toute action
de G se résume à une action sur chacune des orbites, et chacune de ces actions est isomorphe
à l'action de G sur un de ses quotients.
3.1 .12 1) Si x et y sont dans la même orbite, c'est qu'il existe un g E G tel que y = g.x.
Alors, h E G laisse y invariant et s'écrit h.y = y {::::::: h.(g.x) = g.x {::::::: g1
hg E G x et
donc
G y = gG x g1
Les deux stabilisateurs sont conjugués.
2) On a vu que l'action d'un groupe G sur l'orbite de x est isomorphe à l'action de G sur
G/G x , Si l'on prend un autre représentant y de la même orbite, on obtient un autre isomorphisme avec l'action de G sur G/G y = G/gG x g- 1 • Donc si H' = gHg- 1 , les actions
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Théorie des groupes
rr = (1, 2, 3), la matrice P .M est ( t ) -Un truc : pouc avofr la matrice Pa, il suffit de
faire subir cette transformation à la matrice de l'identité.
3) Cette fois, MP a a pour coefficients (m; a u)), il s'agira d'une permutation des colonnes, et
d'une action à droite. Si (}'= (1, 2, 3), la matrice MP a est: (C2, C 3 , C 1 ),
3.1 .10 1) L'application f est bien définie si gG x = g'G. n c'est que g1
g' E G x , donc
g1
g' .x = x soit g' .x = g.x. Ce même calcul, fait à l'envers, montre que / est injective.
De plus, / est surjective par définition même de l'orbite de x.
2) Gest un groupe à six éléments. Si l'on pose r= goh, r(z) = 1- f et r
2
(z) = t �z' r
3
(z) = z.
Le dernier élément du groupe est k =ho r : z 1--7 z.:_ 1 , il est d'ordre 2 comme g et h. On
reconnaît ainsi le groupe S3 . Faisons agir G sur C \ {O, l}. L'orbite de z contient donc au
maximum six éléments qui sont :
1
z z - 1
z, -, -1
, -- , 1- z,
z zz
1- z
Si ces éléments sont distincts, le stabilisateur est réduit à l'identité. En cherchant si ce1tains
de ces éléments sont égaux, on trouve qu'il y a deux cas particuliers. Si z est égal à -1 , à
! ou à 2, l'orbite a trois éléments (qui sont ces trois complexes) et les stabilisateurs sont
les sous-groupes à deux éléments { e, h}, {e, g}, { e, k}. Si z est -j ou -j
2
(j et j
2
sont les
racines cubiques de l'unité), l'orbite a deux éléments, et le stabilisateur est { e, r, r
2
}. On
vérifie bien qu'il y a dans tous les cas, bijection de G/Gz avec Gz. Cette action est liée à
la notion de birapport, rencontrée en géométrie.
3.1.11 f est définie par:
f : hG x 1--7 h.x
Les actions de G sur G/G x et de G sur Gx sont définies par:
g.(hG x ) = (g h)G x
g.(h.x) = (g h) .x
On a alors:
f(g.hG x ) = f(ghG x ) = gh.x et gf(hG x ) = g.h.x
Comme par ailleurs/ est bijective, c'est bien un isomorphisme d'action. Ainsi, toute action
de G se résume à une action sur chacune des orbites, et chacune de ces actions est isomorphe
à l'action de G sur un de ses quotients.
3.1 .12 1) Si x et y sont dans la même orbite, c'est qu'il existe un g E G tel que y = g.x.
Alors, h E G laisse y invariant et s'écrit h.y = y {::::::: h.(g.x) = g.x {::::::: g1
hg E G x et
donc
G y = gG x g1
Les deux stabilisateurs sont conjugués.
2) On a vu que l'action d'un groupe G sur l'orbite de x est isomorphe à l'action de G sur
G/G x , Si l'on prend un autre représentant y de la même orbite, on obtient un autre isomorphisme avec l'action de G sur G/G y = G/gG x g- 1 • Donc si H' = gHg- 1 , les actions
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