3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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Cas 5. En revanche, G définit naturellement une action sur X x X par g .(x, x') = (g .x, g .x'). La
considération de cette action (et de ses généralisations) est utile, voir plus loin les questions
de transitivité.
Cas 6. H x G agit à gauche sur y
x
par :
V/ E y
x
, Vx EX, ((h, g)f)(x) = h.(f(g - 1 .x))
Il suffit de le vérifier. En fait, toute action à gauche sur l'ensemble de départ conduit à une
action à droite sur l'ensemble des applications, ce que traduit le g1 • Cet exemple est courant :
on le retrouve dans l'exercice précédent et dans celui qui suit.
3.1.8 S,, agit à gauche sur IE" par:
C'est un cas particulier de l'exercice précédent, dans la mesure où l'ensemble des n-uples est
en bijection avec l'ensemble des applications de { 1, 2, ... , n} dans JE. Prenons un exemple,
avec On voit bien que les indices sont transformés par suivant S,1 agit à gauche sur OC[X 1 , X 2 , ••• , X,, ] par :
,Xa(2), ... ,X o-(11) )
Cela résulte de ce que l'anneau des polynômes est l'ensemble des applications (presque
nulles, c'est-à-dire nulles sauf pour un nombre fini d'indices) de N" dans OC. L'ensemble
des polynômes qui sont seuls dans leur orbite, et sont donc fixés par tous les éléments de
S,, est un sous-anneau, celui des polynômes symétriques. Les polynômes antisymétriques,
c'est-à-dire qui vérifient éléments. Il n'y a pas d'autre possibilité, car une orbite à deux éléments est liée à un stabilisateur d'indice deux; et le seul groupe d'indice deux du groupe symétrique est le groupe
alterné qui stabilise les polynômes symétriques. Un exemple de polynôme à trois variables
dont l'orbite a trois éléments: X 1 X 2 +X 3 • Vo ir le lien avec les sous-groupes d'indice 3 de S 3 •
3. 1 . 9 1) P a o Ar = P aoT . En effet, si l'on appelle c ij le coefficient courant de cette matrice :
Il
C ij = L 8;u(k)8kT(j) = 8;a(T(/))
k= I
L'application i,j; 2) Soit M = (mij), Alors P uM a pour coefficient :
Il
dij = L 8;a ( k)fflkj = mu - • ( i)j
k= I
Une façon de comprendre ce résultat est de considérer la matrice M formée des lignes
(L;). Alors P a M est la matrice (L u - • <;>). Cette écriture confirme que l'on a bien une action à gauche, ce que montre aussi le calcul de la première question. Un exemple, si
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