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Th éorie des groupes
peut associer une action à gauche par g.x = x.g1
• Ainsi, on peut définir un automorphisme
intérieur « à droite » par x i-+ g1
xg.
1
3.1 .6 Soit une forme bilinéaire sur & et u un automorphisme de &. On est conduit naturellement à considérer lt, définie par
ti,(x, y) = (u(x), u(y))
et lt, est bien une forme bilinéaire sur &. En posant lt, = u. GL(ê) sur C 2 (&), espace des formes bilinéaires sur &. En effet,
v.(u.(u(v(x)), u(v(y))
et donc v.(u.. Supposons que & est de dimension finie, et limitons-nous aux
formes bilinéaires symétriques. Si M est la matrice de dans une base B, et U la matrice de
u dans la même base, alors la matrice de lt, est ' UM U. En effet,
lt, (x,y) = '(UX)MUY = 'X(
1
UMU)Y
on reconnaît la relation de congruence entre matrices symétriques. Dans le cas réel, un résultat classique (loi d'inertie de Sylvester) est que les classes d'équivalence sont caractérisées
par la signature de la forme quadratique associée, ces classes d'équivalence étant les orbites
pour l'action considérée. Dans le cas complexe, les orbites sont simplement classées par le
rang.
Enfin, le stabilisateur d'une forme bilinéaire donnée est un groupe, c'est le groupe orthogonal de la forme bilinéaire symétrique.
3 .1 . 7 Cas 1. L' action d'un sous-groupe de G se définit par restriction sans aucun problème ;
c'est la restriction du morphisme de G dans le groupe symétrique de X. Remarquons qu'en
général les orbites sont alors plus nombreuses. Ainsi, regardons l'exercice précédent ; si &
est muni d'une structure euclidienne, on peut étudier l'action du groupe orthogonal de cette
structure euclidienne sur les formes bilinéaires symétriques. Les orbites sont alors classées
par les n-uples croissants de valeurs propres réelles ; c'est le théorème spectral.
Cas 2. G n'agit pas toujours par restriction sur un sous-ensemble Y de X. Il faut pour cela
que Y soit stable par toutes les bijections de X définies par les éléments de G. Un exemple,
si G agit sur lui-même par automorphismes intérieurs, alors G agit sur son centre (mais
cette action est triviale). Et les sous-groupes qui, comme le centre, sont stables par tous les
automorphismes intérieurs sont les sous-groupes normaux dans G.
Cas 3. G agit naturellement sur l'ensemble P(X ) de tous les sous-ensembles de X (en convenant que l'image de l'ensemble vide est vide). On peut également trouver des actions de G sur
des sous-ensembles de P(X). Ainsi, le groupe linéaire de & agit sur tous les sous-ensembles
de & ; il agit aussi sur l'ensemble des droites de &, et plus généralement sur l'ensemble des
sous-espaces de dimension k.
Cas 4. G x G n'agit pas naturellement sur X; il faudrait donner un sens à (g, g').x. Si l'on
suppose que c'est (gg').x, alors
(u, u' ) .((g , g').x) = (u, u' ).(gg' .x) = uu' gg' .x -=/ (ug, u' g').x
en général.
1. On pourrait donc penser qu'il est possible de se passer totalement des actions à droite, mais il y a des
circonstances où elles sont plus naturelles que les actions à gauche.
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