3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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En revanche, pour l'action par automorphisme intérieur, la situation est plus riche. Le stabilisateur de x est l'ensemble des g tels que g.x = gxg -
1
= x c'est-à-dire tels que: gx = xg. C'est
le centralisateur de x, l'ensemble des éléments qui commute avec x; on le note CG(x). Les
éléments de l'orbite de x sont les y tels qu'il existe g tels que y= gxg -
1
• La relation d'équivalence associée porte alors le nom de conjugaison. On l'a déjà rencontrée lors de l'étude du
groupe symétrique.
Dans la plupart des cas, cette notion de conjuguaison s'avère très intéressante : des éléments
conjugués ont beaucoup de propriétés communes. Bien sûr, pour un groupe commutatif, la
conjugaison se réduit à l'identité.
3.1.4 En algèbre linéaire, on apprend que Met P.M représentent le même endomorphisme,
mais dans des bases différentes. La relation de conjugaison s'appelle la similitude, et les
orbites sont formées de matrices semblables. Dans le cas d'un corps algébriquement clos,
on peut étudier les réduites de Jordan pour classer ces orbites. Dans le cas particulier de
M2(Z/2Z), il y a 16 matrices.
• Celles qui sont seules dans leur orbite :
(� �) (� �)
Ce sont d'ailleurs les matrices du centre de l'anneau.
• Celles de valeurs propres O et 1 qui sont donc diagonalisables et toutes semblables :
• Dans une autre classe, voici les matrices nilpotentes non nulles :
• Puis la classe des matrices de seule valeur propre 1, mais non diagonalisables :
• Enfin, une classe de matrices n'ayant aucune valeur propre:
C � ) ( � ! )
On peut continuer à examiner cet exemple, en cherchant les stabilisateurs. Le groupe agissant,
formé des matrices inversibles, n'a que six éléments et est isomorphe à S 3 •
3.1 .5 On peut définir une action à droite comme un« antihomomorphisme » d'un groupe G
dans le groupe symétrique d'un ensemble X, c'est-à-dire vérifiant:
\tg , g' E G,(g) o (g' ) = (g' g)
Au lieu de la notation g.x, on utilise x.g ou bien x8 (notation exponentielle) de sorte que
la propriété de définition s'écrive (x .g).g' = x.(gg'). L'exemple le plus simple d'action à
droite est l'action de G sur lui-même donnée par x.g = xg. Enfin, à toute action à droite, on
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En revanche, pour l'action par automorphisme intérieur, la situation est plus riche. Le stabilisateur de x est l'ensemble des g tels que g.x = gxg -
1
= x c'est-à-dire tels que: gx = xg. C'est
le centralisateur de x, l'ensemble des éléments qui commute avec x; on le note CG(x). Les
éléments de l'orbite de x sont les y tels qu'il existe g tels que y= gxg -
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• La relation d'équivalence associée porte alors le nom de conjugaison. On l'a déjà rencontrée lors de l'étude du
groupe symétrique.
Dans la plupart des cas, cette notion de conjuguaison s'avère très intéressante : des éléments
conjugués ont beaucoup de propriétés communes. Bien sûr, pour un groupe commutatif, la
conjugaison se réduit à l'identité.
3.1.4 En algèbre linéaire, on apprend que Met P.M représentent le même endomorphisme,
mais dans des bases différentes. La relation de conjugaison s'appelle la similitude, et les
orbites sont formées de matrices semblables. Dans le cas d'un corps algébriquement clos,
on peut étudier les réduites de Jordan pour classer ces orbites. Dans le cas particulier de
M2(Z/2Z), il y a 16 matrices.
• Celles qui sont seules dans leur orbite :
(� �) (� �)
Ce sont d'ailleurs les matrices du centre de l'anneau.
• Celles de valeurs propres O et 1 qui sont donc diagonalisables et toutes semblables :
• Dans une autre classe, voici les matrices nilpotentes non nulles :
• Puis la classe des matrices de seule valeur propre 1, mais non diagonalisables :
• Enfin, une classe de matrices n'ayant aucune valeur propre:
C � ) ( � ! )
On peut continuer à examiner cet exemple, en cherchant les stabilisateurs. Le groupe agissant,
formé des matrices inversibles, n'a que six éléments et est isomorphe à S 3 •
3.1 .5 On peut définir une action à droite comme un« antihomomorphisme » d'un groupe G
dans le groupe symétrique d'un ensemble X, c'est-à-dire
\tg , g' E G,
Au lieu de la notation g.x, on utilise x.g ou bien x8 (notation exponentielle) de sorte que
la propriété de définition s'écrive (x .g).g' = x.(gg'). L'exemple le plus simple d'action à
droite est l'action de G sur lui-même donnée par x.g = xg. Enfin, à toute action à droite, on
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