64
Théorie des groupes
Exercice 3.1.17 (Formule de Burnside)
Soit G un groupe fini agissant sur un ensemble fini X. On note N le nombre des orbites, et
Fix(g) l'ensemble des points fixes de g (i.e. des x tels que g.x = x). Montrer:
N = l
� I L IFix(g)I
gEG
Pour cela, on dénombrera l'ensemble des couples (g, x) où g.x = x de deux façons différentes.
Exercice 3.1.18
Un exemple d'application. Une roue de loterie est partagée en n secteurs; chacun d'eux est
colorié d'une couleur parmi p couleurs différentes. Quel est le nombre des roues de loterie
possibles, sachant qu'on ne distingue pas deux coloriages s'ils se déduisent l'un de l'autre
par rotation? On modélisera la situation en considérant qu'un coloriage est une application
de { 1, ... , n} dans { 1, ... , p} et en faisant agir le groupe des rotations. On peut commencer
par des cas particuliers, (n = 4, 5, 6). La formule à obtenir est
�L�G)P
d
dl11
où �(d) est le nombre des entiers de { 1, ... , d} qui sont premiers avec d.
SOLUTIONS
3.1.1 g.(g' .x) = g.(g'x) = gg'x = (gg').x
g.(g' .x) = g.(xg'1
) = xg
1 -
1
g1
= x(gg')1
= (gg').x
g.(g' .x) = g.(g'xg ' - 1
) = gg'xg
1 -
1
g1
= (gg')x(gg')1
= gg'.x
e.x = ex =x
e.x = xe1
=x
e.x = exe1
= x
S'agit-il d'une action par morphismes? Ce n'est pas le cas des translations à droite ou à
gauche, (cf l'image de l'élément neutre); En revanche, gxx'g1
= gxg -
1
gx'g1
prouve que
l'action par automorphisme intérieur est une action par morphisme.
3. 1 . 2 Si g et g' sont dans le stabilisateur de x, alors (gg') .x = g. (g ' .x) = g .x = x, et g1
.x =
g1
.(g.x) = x prouvent que Gx est stable par le produit et par la prise d'inverse. C'est donc
un sous-groupe de G; (il contient au moins e).
Le noyau d'une action, formé de tous les g tels que, pour tout x, g.x = x, est l'intersection de
tous les stabilisateurs. Enfin, si une action n'est pas fidèle, c'est que n'est pas un morphisme
injectif de G dans le groupe symétrique de X. Le premier théorème d'isomorphisme assure
alors qu'on peut définir un morphisme injectif de G/ Ker dans le groupe symétrique de X.
3.1.3 Les orbites forment une partition de X. Il suffit pour cela de vérifier que la relation:
x'Ry {=:::} 3g E G, y= g.x
est une relation d'équivalence (associée à l'action), ce qui n'offre aucune difficulté.
Pour la translation à gauche, il n'y a qu'une seule orbite. En effet, si x et y sont dans G,
y= (yx1
)x. De même, x = gx implique g = e, le stabilisateur de tout élément est réduit au
neutre. Il en va de même pour la translation à droite.
www.bibliomath.com