3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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Quel est le stabilisateur de i? Et son orbite? (Le demi-plan de Poincaré est l'ensemble des
complexes de partie imaginaire strictement positive).
Exercice 3.1.14 {Formule des classes)
Dans cet exercice, on suppose que X est fini. On considère un ensemble n d'éléments de X
tel que toute orbite rencontre n en un seul point ; on dit parfois que n est une transversale.
Démontrer que :
En théorie des groupes, voici une importante application de la« formule des classes ».
On dit qu'un groupe fini G est un p-groupe (p premier) si son cardinal est une puissance
de p. L'exercice qui suit donne une propriété des centres des p-groupes.
Exercice 3.1.15
On considère un groupe G qui agit sur lui-même par automorphisme intérieur.
1) Six E Z(G) (centre de G), quelle est l'orbite de x?
2) Montrer que :
" IGI
IGI = I Z(G)I + � - I G I
xEA
x
où A est une transversale pour l'ensemble des orbites non réduites à un point.
3) En déduire que tout groupe de cardinal p" où p est premier a un centre non trivial (i.e. ne
contenant pas que l'élément neutre). Comme le centre est un sous-groupe normal, on en
déduit qu'un p-groupe non commutatif n'est jamais simple.
Exercice 3.1.16
Une action est dite doublement transitive si chaque fois qu'on se donne deux couples (x, y)
et (x' ,y' ) de X, avec x-:/ y et x' -:/ y', il existe g E G tel que x' = g.x et y' = g.y.
1) Donner des exemples d'actions doublement transitives. On utilisera des espaces vectoriels
ou des espaces affines.
2) Démontrer que si une action est doublement transitive, tous les stabilisateurs sont des
sous-groupes maximaux.
1
3) Comment définir des actions multiplement transitives? Soit G le groupe linéaire d'un
espace vectoriel e de dimension deux; montrer qu'il agit triplement transitivement sur les
droites vectorielles mais pas quadruplement.
4) Montrer que si la dimension est trois, alors le groupe linéaire agit doublement transitivement mais pas triplement... Examiner son action sur les plans vectoriels. En dimension
finie quelconque ?
1. Un sous-groupe H est maximal dans G s'il n'existe aucun sous-groupe strictement compris entre H et G.
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Quel est le stabilisateur de i? Et son orbite? (Le demi-plan de Poincaré est l'ensemble des
complexes de partie imaginaire strictement positive).
Exercice 3.1.14 {Formule des classes)
Dans cet exercice, on suppose que X est fini. On considère un ensemble n d'éléments de X
tel que toute orbite rencontre n en un seul point ; on dit parfois que n est une transversale.
Démontrer que :
En théorie des groupes, voici une importante application de la« formule des classes ».
On dit qu'un groupe fini G est un p-groupe (p premier) si son cardinal est une puissance
de p. L'exercice qui suit donne une propriété des centres des p-groupes.
Exercice 3.1.15
On considère un groupe G qui agit sur lui-même par automorphisme intérieur.
1) Six E Z(G) (centre de G), quelle est l'orbite de x?
2) Montrer que :
" IGI
IGI = I Z(G)I + � - I G I
xEA
x
où A est une transversale pour l'ensemble des orbites non réduites à un point.
3) En déduire que tout groupe de cardinal p" où p est premier a un centre non trivial (i.e. ne
contenant pas que l'élément neutre). Comme le centre est un sous-groupe normal, on en
déduit qu'un p-groupe non commutatif n'est jamais simple.
Exercice 3.1.16
Une action est dite doublement transitive si chaque fois qu'on se donne deux couples (x, y)
et (x' ,y' ) de X, avec x-:/ y et x' -:/ y', il existe g E G tel que x' = g.x et y' = g.y.
1) Donner des exemples d'actions doublement transitives. On utilisera des espaces vectoriels
ou des espaces affines.
2) Démontrer que si une action est doublement transitive, tous les stabilisateurs sont des
sous-groupes maximaux.
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3) Comment définir des actions multiplement transitives? Soit G le groupe linéaire d'un
espace vectoriel e de dimension deux; montrer qu'il agit triplement transitivement sur les
droites vectorielles mais pas quadruplement.
4) Montrer que si la dimension est trois, alors le groupe linéaire agit doublement transitivement mais pas triplement... Examiner son action sur les plans vectoriels. En dimension
finie quelconque ?
1. Un sous-groupe H est maximal dans G s'il n'existe aucun sous-groupe strictement compris entre H et G.
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