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1) Montrer que l'application :
est bien définie et est bijective.
f: G/G x ---+ Gx
gG x
t-t
g.x
Théorie des groupes
2) Vérifier ce résultat sur l'exemple simple suivant. Soit G le groupe engendré par les deux
applications :
1
g : z t-t 1 - z, h : z t-t - z
considérées comme des bijections de X = C \ {O, 1 }. Vérifier qu'il a six éléments. Lorsqu'on le fait opérer sur X, décrire les orbites et les stabilisateurs.
Exercice 3.1.11
Soit G un groupe agissant sur deux ensembles X et Y. On dit que les deux �ctions et '\JI
sont isomorphes s'il existe une bijection/ de X sur Y telle que :
Ce qui peut se schématiser :
't/g E G, f o (g) = 'IJl(g) of
(g)
X- ---;i.. X
f !
!1
y
y
'i'(g)
Autrement dit, en notant par un point les deux actions,
't/g E G, f(g.x) = gf(x)
Démontrer que, dans la première question de l'exercice précédent, f est un isomorphisme
d'actions.
En conclusion : toute action de groupe se réduit à des actions sur des orbites, et chacune
de ces actions est isomorphe à l'action de G sur un ensemble quotient G /H. Pour être
complet :
Exercice 3.1.12
1) Soient x et y deux éléments de X qui sont dans la même orbite. Comparer leurs stabilisateurs respectifs.
2) Soient H et H' deux sous-groupes de G. Montrer que les actions de G sur les quotients
G/H et G/H' sont isomorphes si et seulement si H et H' sont conjugués, c'est-à-dire s'il
existe g E G tel que H = gH' g- 1 •
Exercice 3.1.13
Soit SL(2, IR.) le groupe « unimodulaire » des matrices 2 x 2 à coefficients réels et de déterminant égal à 1. Montrer qu'il opère sur le demi-plan de Poincaré par :
(
a c
) =
az + c
b d
. z bz + d
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