3 • Actions de groupes - Groupes de Sylow
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Exercice 3.1 .7
Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. Dans quelles conditions et comment obtient-on
une action dans les cas suivants
• Un sous-groupe de G sur X.
• G sur un sous-ensemble de X.
• G sur P(X), ensemble des sous-ensembles de X.
• G x G sur X.
• Gsur X x X.
• H x G sur y
x
,
Pour le dernier cas, on suppose que H agit sur Y et l'on rappelle que y
x
désigne l'ensemble
des applieations de X dans Y.
Exercice 3.1.8
Décrire des aclions de S,, sur :
• IE" où JE est un ensemble quelconque.
• lK[X 1 ,X2, ... ,X,, ], anneau des polynômes à n indéterminées sur un corps K Quels sont
alors les polynômes qui sont seuls dans leur orbite? Donner des exemples où l'orbite
contient un élément, deux éléments, trois éléments ...
Soit X = M,,(lK). On peut faire agir le groupe symétrique S,, en permutant lignes ou
colonnes. Voici une vision différente.
Exercice 3.1.9
1) Si O' ES,,, on pose P u = (p ij ) où
On rappelle que 8 ii vaut 1 si i = j et O sinon.
Vérifier que l'ensemble P des matrices de cette forme est un groupe isomorphe à S,, . On
les appelle matrices de permutation.
2) Montrer que P agit sur M,,(lK) par translation à gauche. Comment caractériser cette action ? Que dire de matrices qui sont dans une même orbite ?
3) Comment décrire la multiplication à droite par une matrice de permutation ?
Il existe une relation entre G, l'orbite Gx d'un élément et G x son stabilisateur. C'est le
point de départ d'une étude qui montre que, finalement, toute action de groupe se traduit
entièrement dans le groupe G.
Exercice 3.1.10
On considère le quotient G/G x , qui n'est pas un groupe en général, car le stabilisateur d'un
élément n'est pas forcément normal.
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Exercice 3.1 .7
Soit G un groupe agissant sur un ensemble X. Dans quelles conditions et comment obtient-on
une action dans les cas suivants
• Un sous-groupe de G sur X.
• G sur un sous-ensemble de X.
• G sur P(X), ensemble des sous-ensembles de X.
• G x G sur X.
• Gsur X x X.
• H x G sur y
x
,
Pour le dernier cas, on suppose que H agit sur Y et l'on rappelle que y
x
désigne l'ensemble
des applieations de X dans Y.
Exercice 3.1.8
Décrire des aclions de S,, sur :
• IE" où JE est un ensemble quelconque.
• lK[X 1 ,X2, ... ,X,, ], anneau des polynômes à n indéterminées sur un corps K Quels sont
alors les polynômes qui sont seuls dans leur orbite? Donner des exemples où l'orbite
contient un élément, deux éléments, trois éléments ...
Soit X = M,,(lK). On peut faire agir le groupe symétrique S,, en permutant lignes ou
colonnes. Voici une vision différente.
Exercice 3.1.9
1) Si O' ES,,, on pose P u = (p ij ) où
On rappelle que 8 ii vaut 1 si i = j et O sinon.
Vérifier que l'ensemble P des matrices de cette forme est un groupe isomorphe à S,, . On
les appelle matrices de permutation.
2) Montrer que P agit sur M,,(lK) par translation à gauche. Comment caractériser cette action ? Que dire de matrices qui sont dans une même orbite ?
3) Comment décrire la multiplication à droite par une matrice de permutation ?
Il existe une relation entre G, l'orbite Gx d'un élément et G x son stabilisateur. C'est le
point de départ d'une étude qui montre que, finalement, toute action de groupe se traduit
entièrement dans le groupe G.
Exercice 3.1.10
On considère le quotient G/G x , qui n'est pas un groupe en général, car le stabilisateur d'un
élément n'est pas forcément normal.
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