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Théorie des groupes
Quelques définitions :
1. Si x E X, son orbite, notée Gx est définie par :
Gx = {y EX/ 3g E G, y= g.x}
Le mot orbite fait image, penser à l'orbite d'un point du plan lorsque G est le groupe
des rotations de centre O.
2. Si x E X, son stabilisateur, souvent noté G x est défini par:
Gx = {g E G/ g.x= x}
3. Le noyau de l'action est l'ensemble des éléments de G tels que, pour tout x de X,
g.x = x. C'est bien sfir le noyau de . Une action est dite fidèle si son noyau est
réduit au neutre. Ce cas est fréquent, et G est alors isomorphe à un sous-groupe du
groupe symétrique de X (ou est même un sous-groupe de ce groupe symétrique).
Exercice 3.1.2
Montrer que le stabilisateur d'un élément de X est toujours un sous-groupe de G. Comment
décrire le noyau d'une action à l'aide des stabilisateurs? Montrer que si une action n'est pas
fidèle, on peut définir une action de G / Ker qui le sera.
Exercice 3.1.3
Montrer que les orbites d'une action forment une partition de X. Décrire les orbites et les
stabilisateurs pour les actions de translation à gauche et d'automorphisme intérieur de l'exercice 3. 1.1.
Exercice 3.1.4
Soient G = GL(n, IK) et X = M,,(IK). G agit sur X par« automorphisme intérieur» (c'est un
prolongement de la définition ) :
P.M= PMP - 1
Que sont les orbites? Les décrire dans le cas particulier de M 2 (Z/2Z).
Exercice 3.1.5
L'action que nous avons définie est une action « à gauche » ; on peut également définir une
action à droite. Examiner ce qui change (en particulier, ce que deviennent translations et
automorphismes intérieurs).
Exercice 3.1.6
Soit & un espace vectoriel. On peut y définir des formes bilinéaires symétriques une action à droite de GL(&) sur l'ensemble noté .C 2 (&) des formes bilinéaires. En se plaçant
en dimension finie et dans le cas des formes bilinéaires symétriques, quelles sont les orbites
de cette action ? On répondra dans le cas réel et dans le cas complexe.
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