Chapitre 3
Actions de groupes
Groupes de Sylow
Une action d'un groupe G sur un ensemble X est une « loi externe », c'est-à-dire une
application :
qui vérifie :
: GxX - X
(g ,x) 1---t g.x
Vg, g' E G, Vx EX,
VxEX,
g' .(g.x) = (g' g).x
e.x=x
On peut présenter cette notion différemment, en disant qu' une action est un morphisme
de G dans le groupe symétrique de X, c'est-à-dire le groupe des bijections de X dans
lui-même. Pour retrouver alors la première définition, on écrit : (g)(x) = (g,x) = g.x.
La notion d'action de groupe est très présente en théorie des groupes, mais aussi en
géométrie, algèbre linéaire ... Elle fournit plus généralement un langage unifié et très
parlant pour beaucoup de situations mathématiques.
Exercice 3.1.1
Montrer qu'un groupe G agit sur lui-même par :
g.x = gx
g.x = xg- 1
g.x = gxg - 1
translation à gauche
translation à droite
automorphisme intérieur
Dans quel(s) cas (g) est-il toujours un automorphisme de G? On dit alors que c'est une
action par morphismes
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