2 • Exemples de groupes
53
- Il faut utiliser les puissances de CT = (1, 2, ... , n). Comme CT
k
transforme 1 en k + 1, on a
CT
k
o ( 1, 2) o CT -
k
= (k + 1, k + 2). On conclut, grâce à la question précédente.
2.4.9 Soit donc CT = (1, 2, 3, 4) et prenons ,. = (1, 3). Alors le groupe engendré n'est pas S 4
mais le groupe diédral 11}) 8 • On peut le voir en remarquant CT
4
= ,.
2
= id 1 ,. o CT o,. = CT1
, qui est
la présentation du groupe diédral. Le groupe engendré est donc de cardinal inférieur à huit,
on vérifie qu'il est bien égal à huit.
En revanche, si p est premier, et CT = (1, 2, ... , p), alors n'importe quelle permutation 'I' = (i,j)
unie à CT engendre S p , En fait, il suffit que si d = j - i, d /\ n = 1. On le vérifie en étudiant
les conjugués de (i,j) par CT
k
, puis en conjuguant (i,j) avec (j,j + d), ce qui donne (i,j + d).
En itérant, on voit bien qu'on obtient une transposition entre deux éléments consécutifs s'il
existe k tel que kd = 1 (mod n).
2.4.10 1) Il suffit de suivre les images successives des éléments ; a donne x 1 qui donne ...
puis x k redonne a par l'intermédiaire de a. De même, pour tous les autres, sans oublier que
l'on compose de la droite vers la gauche.
2) Montrons que la signature est un morphisme. Soit CT une permutation, (a, b) une transposition, et considérons ,. = (a, b)CT. Il y a deux possibilités, a et b sont dans un même cycle
dans la décomposition de CT, et la première formule de la seconde question montre que ,.
contient un cycle de plus que CT. Si a et b sont dans deux cycles disjoints, la seconde formule montre qu'il y a un cycle de moins. Et si a ou b sont fixés par CT, la seconde formule
convient encore en convenant que la liste des x; ou des y; est vide. D'ailleurs, si a est fixe
par CT, on peut écrire que CT contient le 1-cycle (a). Ainsi, 8('1') = -8(1 = 8{{a, b))8(CT).
Comme le groupe symétrique est engendré par les permutations, la preuve est complète.
3) Un ,-cycle contient 1 cycle et n - r points fixes. Sa signature est donc (-l)
r
-I, elle est
paire si... r est impair (pas de chance). Et pour un produit de cycles, il suffit d'utiliser le
fait que la signature est un morphisme. Ainsi, les transpositions sont impaires, les doubles
transpositions sont paires.
4) Les 3-cycles et leurs composés sont des permutations paires. Réciproquement, il suffit de
considérer les produits de la forme (a, b)(c, d) les quatre lettres représentant des éléments
distincts. Or :
(a, b)(b, c) = (a, b, c ) (a, b)(c, d) = (a, c,b)(a, c, d)
ce qui prouve que tout composé d'un nombre pair de transpositions est aussi composé de
3-cycles.
5) Il s'agit donc de fabriquer n'importe quel 3-cycle avec les n 3-cycles de la forme (1, 2, i).
Prenons i,j, k distincts et distincts de 1 et 2. Le principe de conjugaison donne :
c1, 2, ï)CI, 2,j)(1, 2, 01
= < ï ,j, 2>
c1, 2, i)Ci,i, 2>c1, 2, 01
= c1,j, i )
(1,2,k)(i,j,2)(1,2,k)1
= (i,j,k)
2.4.11 Comme le montre le tableau de la réponse à l'exercice 2.4.4 (cas n = 4), Ai contient
trois doubles transpositions, u = (1,2)(3, 4), v = (1,3)(2, 4) et w = (1,4)(2, 3). Il en résulte trois groupes d'ordre 2, inclus dans un groupe d'ordre 4 formé de l'identité et de ces
trois doubles transpositions. Il est isomorphe au groupe de Klein V. Il y a également huit 3cycles, avec l'identité, le compte est bon. Chaque 3-cycle est d'ordre trois, et forme un groupe
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- Il faut utiliser les puissances de CT = (1, 2, ... , n). Comme CT
k
transforme 1 en k + 1, on a
CT
k
o ( 1, 2) o CT -
k
= (k + 1, k + 2). On conclut, grâce à la question précédente.
2.4.9 Soit donc CT = (1, 2, 3, 4) et prenons ,. = (1, 3). Alors le groupe engendré n'est pas S 4
mais le groupe diédral 11}) 8 • On peut le voir en remarquant CT
4
= ,.
2
= id 1 ,. o CT o,. = CT1
, qui est
la présentation du groupe diédral. Le groupe engendré est donc de cardinal inférieur à huit,
on vérifie qu'il est bien égal à huit.
En revanche, si p est premier, et CT = (1, 2, ... , p), alors n'importe quelle permutation 'I' = (i,j)
unie à CT engendre S p , En fait, il suffit que si d = j - i, d /\ n = 1. On le vérifie en étudiant
les conjugués de (i,j) par CT
k
, puis en conjuguant (i,j) avec (j,j + d), ce qui donne (i,j + d).
En itérant, on voit bien qu'on obtient une transposition entre deux éléments consécutifs s'il
existe k tel que kd = 1 (mod n).
2.4.10 1) Il suffit de suivre les images successives des éléments ; a donne x 1 qui donne ...
puis x k redonne a par l'intermédiaire de a. De même, pour tous les autres, sans oublier que
l'on compose de la droite vers la gauche.
2) Montrons que la signature est un morphisme. Soit CT une permutation, (a, b) une transposition, et considérons ,. = (a, b)CT. Il y a deux possibilités, a et b sont dans un même cycle
dans la décomposition de CT, et la première formule de la seconde question montre que ,.
contient un cycle de plus que CT. Si a et b sont dans deux cycles disjoints, la seconde formule montre qu'il y a un cycle de moins. Et si a ou b sont fixés par CT, la seconde formule
convient encore en convenant que la liste des x; ou des y; est vide. D'ailleurs, si a est fixe
par CT, on peut écrire que CT contient le 1-cycle (a). Ainsi, 8('1') = -8(1 = 8{{a, b))8(CT).
Comme le groupe symétrique est engendré par les permutations, la preuve est complète.
3) Un ,-cycle contient 1 cycle et n - r points fixes. Sa signature est donc (-l)
r
-I, elle est
paire si... r est impair (pas de chance). Et pour un produit de cycles, il suffit d'utiliser le
fait que la signature est un morphisme. Ainsi, les transpositions sont impaires, les doubles
transpositions sont paires.
4) Les 3-cycles et leurs composés sont des permutations paires. Réciproquement, il suffit de
considérer les produits de la forme (a, b)(c, d) les quatre lettres représentant des éléments
distincts. Or :
(a, b)(b, c) = (a, b, c ) (a, b)(c, d) = (a, c,b)(a, c, d)
ce qui prouve que tout composé d'un nombre pair de transpositions est aussi composé de
3-cycles.
5) Il s'agit donc de fabriquer n'importe quel 3-cycle avec les n 3-cycles de la forme (1, 2, i).
Prenons i,j, k distincts et distincts de 1 et 2. Le principe de conjugaison donne :
c1, 2, ï)CI, 2,j)(1, 2, 01
= < ï ,j, 2>
c1, 2, i)Ci,i, 2>c1, 2, 01
= c1,j, i )
(1,2,k)(i,j,2)(1,2,k)1
= (i,j,k)
2.4.11 Comme le montre le tableau de la réponse à l'exercice 2.4.4 (cas n = 4), Ai contient
trois doubles transpositions, u = (1,2)(3, 4), v = (1,3)(2, 4) et w = (1,4)(2, 3). Il en résulte trois groupes d'ordre 2, inclus dans un groupe d'ordre 4 formé de l'identité et de ces
trois doubles transpositions. Il est isomorphe au groupe de Klein V. Il y a également huit 3cycles, avec l'identité, le compte est bon. Chaque 3-cycle est d'ordre trois, et forme un groupe
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