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Théorie des groupes
cyclique avec son carré. Il y a ainsi quatre sous-groupes d'ordre 3; tout autre sous-groupe a
deux générateurs. S'il contient deux 3-cycles dont l'un n'est pas le carré de l'autre, alors ces
3-cycles sont (1,2,3) et (1,2,4), à un changement de notation près, dont on sait qu'ils engendrent Ai. Enfin, s'il contient un 3-cycle a et une double transposition T, il contient une
autre double transposition CJ'Ta- 1 , donc un sous-groupe d'ordre 4 et un sous-groupe d'ordre
3. D'après le théorème de Lagrange, il a au moins douze éléments, c'est Ai. Remarquons que
le groupe Ai est le plus petit qui donne un contre-exemple au théorème de Lagrange ; d'ordre
douze, il n'a pas de sous-groupe d'ordre six. Les sous-groupes d'ordre deux ne sont pas normaux, comme le montre le calcul du conjugué d'une double transposition par un 3-cycle. Les
sous-groupes d'ordre trois sont aussi conjugués deux à deux (images l'un de l'autre par un
automorphisme intérieur), et ne sont pas normaux: En revanche, le groupe à quatre éléments
est forcément normal dans Ai, étant seul de son cardinal.
2.4.12 Soit a un élément du centre de S,, . Alors, si a et b sont deux entiers distincts, on doit
avoir (a, b)a(a, b) = (a(a), a(b)) =a.La permutation a doit donc fixer tous les autres entiers,
et l'on a a(a) = a,a(b) = b ou a(a) = b,a(b) = a. Dans le premier cas, a est l'identité. Si
le second était possible, soit c un autre entier (d'où n > 2), (a, c)a(a, c) = (a(a), a(c)) = a
prouverait que a(a) = c, ce qui est absurde.
2.4.13 1) Pour la permutation a, tout élément de l'ensemble { 1, ... , n} est soit fixe, et
contribue dans k 1 , soit fait partie du support d'un i-cycle. Ces supports étant disjoints, les
éléments concernés sont au nombre de i x k;, d'où la formule.
2) Supposons que T commute avec a. Soit (a 1 , a2 , ... , ak) un k-cycle de a, et notons b; =
T(a;). Alors :
a(b;) = CJ'T(a;) = TCJ'(a;) = T(a;+ 1 ) = b;+ 1 et a(bk) = b 1
et donc (b 1 , b2 , ... , bk) est un k-cycle de a, T transforme le support d'un k-cycle de a en
un k-cycle de a. Réciproquement, construisons T de la façon suivante :
- pour chaque i, on choisit une des k; ! permutations des i-cycles de <1 ;
- pour chaque i-cycle, il faut choisir l'image d'un élément, mettons a, dans le support
d'un autre i-cycle ; cela ce fait de i façons, et l'image des autres est alors déterminée,
car:
T(�(a)) = �(T(a))
Il est alors facile de vérifier qu'une telle permutation commute bien avec a. Le nombre
des choix possibles est donc :
Il
Card (Cs,, (u)) = II l 1 k; !
i= I
Attention, dans ce qui précède, il faut tenir compte des points fixes. Si a est une transposition, la formule donne 2(n - 2) ! permutations, ce qu'on vérifie facilement.
2.4.14 1) Montrons la relation de récurrence. Si l'on ajoute un n + 1-ième élément, les
permutations ayant k cycles se partitionnent en deux
- celles pour lesquelles cet élément est fixe, il y en a s(n, k - 1) ;
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Théorie des groupes
cyclique avec son carré. Il y a ainsi quatre sous-groupes d'ordre 3; tout autre sous-groupe a
deux générateurs. S'il contient deux 3-cycles dont l'un n'est pas le carré de l'autre, alors ces
3-cycles sont (1,2,3) et (1,2,4), à un changement de notation près, dont on sait qu'ils engendrent Ai. Enfin, s'il contient un 3-cycle a et une double transposition T, il contient une
autre double transposition CJ'Ta- 1 , donc un sous-groupe d'ordre 4 et un sous-groupe d'ordre
3. D'après le théorème de Lagrange, il a au moins douze éléments, c'est Ai. Remarquons que
le groupe Ai est le plus petit qui donne un contre-exemple au théorème de Lagrange ; d'ordre
douze, il n'a pas de sous-groupe d'ordre six. Les sous-groupes d'ordre deux ne sont pas normaux, comme le montre le calcul du conjugué d'une double transposition par un 3-cycle. Les
sous-groupes d'ordre trois sont aussi conjugués deux à deux (images l'un de l'autre par un
automorphisme intérieur), et ne sont pas normaux: En revanche, le groupe à quatre éléments
est forcément normal dans Ai, étant seul de son cardinal.
2.4.12 Soit a un élément du centre de S,, . Alors, si a et b sont deux entiers distincts, on doit
avoir (a, b)a(a, b) = (a(a), a(b)) =a.La permutation a doit donc fixer tous les autres entiers,
et l'on a a(a) = a,a(b) = b ou a(a) = b,a(b) = a. Dans le premier cas, a est l'identité. Si
le second était possible, soit c un autre entier (d'où n > 2), (a, c)a(a, c) = (a(a), a(c)) = a
prouverait que a(a) = c, ce qui est absurde.
2.4.13 1) Pour la permutation a, tout élément de l'ensemble { 1, ... , n} est soit fixe, et
contribue dans k 1 , soit fait partie du support d'un i-cycle. Ces supports étant disjoints, les
éléments concernés sont au nombre de i x k;, d'où la formule.
2) Supposons que T commute avec a. Soit (a 1 , a2 , ... , ak) un k-cycle de a, et notons b; =
T(a;). Alors :
a(b;) = CJ'T(a;) = TCJ'(a;) = T(a;+ 1 ) = b;+ 1 et a(bk) = b 1
et donc (b 1 , b2 , ... , bk) est un k-cycle de a, T transforme le support d'un k-cycle de a en
un k-cycle de a. Réciproquement, construisons T de la façon suivante :
- pour chaque i, on choisit une des k; ! permutations des i-cycles de <1 ;
- pour chaque i-cycle, il faut choisir l'image d'un élément, mettons a, dans le support
d'un autre i-cycle ; cela ce fait de i façons, et l'image des autres est alors déterminée,
car:
T(�(a)) = �(T(a))
Il est alors facile de vérifier qu'une telle permutation commute bien avec a. Le nombre
des choix possibles est donc :
Il
Card (Cs,, (u)) = II l 1 k; !
i= I
Attention, dans ce qui précède, il faut tenir compte des points fixes. Si a est une transposition, la formule donne 2(n - 2) ! permutations, ce qu'on vérifie facilement.
2.4.14 1) Montrons la relation de récurrence. Si l'on ajoute un n + 1-ième élément, les
permutations ayant k cycles se partitionnent en deux
- celles pour lesquelles cet élément est fixe, il y en a s(n, k - 1) ;
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