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Théorie des groupes
2.4.6 Une permutation sera d'ordre p ssi c'est un p-cycle ou un composé de p-cycles de
supports disjoints ; de cette façon seulement p sera le ppcm des ordres. Sachant que le nombre
des p-cycles est (p - l) ! Cf,, on trouve au total une expression :
- (p - l) I CP � (p - 1) 1 2 CPC P
� (p - 1) 1 3 CP r,/J cv
a,, -
· ,, +
2 ,
· ,, 11 - p +
3 ,
· 11 \.., i, - p 11 - 2p + · · ·
la somme s'arrêtant à E(n/p) termes au maximum (E désigne la partie entière). On peut
simplifier ce résultat et l'écrire :
Démontrons maintenant que :
n !
a , ,
=
L
p k k !(n - kp) !
O�k�11/p
+oo
L
all .,11
r+,f_
-,1, = e: p
n !
11=0
Le plus direct est de partir du résultat :
:/'
, ,
00
y}<
00 yf'i
00
y}<
e
;<
+
-;; = e:' e -;; = L k ! L �= L b, , k!
k=O
j=O plj
11=0
alors les b, , sont donnés par :
b - r '°' _ 1 _ - '°' n !
-
11 - n. � k! ' ! pi - � ' !p i (n _ ' ) ! - a , ,
k+pj =11 'J
OQ�11/p
}
Pl
Une généralisation : le nombre c,,, 111 des permutations de S, , vérifiant cr
"'
= id vérifie :
L
+oo c ,, .JI
(L x1)
-,1, =e xp
-
n'
d
11=0 '
dlm
2.4.7 Supposons a = (1, ... , r). Alors a
k
(l) = k + 1 (mod r) (en prenant le représentant
qui est dans { 1, ... , r} ). Alors l'image de 1 sera dans un cycle de longueur d, si ( a
k
/ (1) = 1
(mod r), avec d minimum. On trouve donc d = k
�
,.. Comme ce calcul marche bien sûr
pour tous les autres, on en déduit que a
r
est constitué de k /\ r cycles de longueur k
�
,.. En
particulier, les puissances d'un p-cycle sont toujours des p-cycles ( ou id) si p est premier. Ces
calculs sont à mettre en relation avec l'étude des groupes cycliques.
Réciproquement, donnons-nous un produit de p cycles disjoints de longueur q, avec n > pq.
Avec les notations précédentes, on doit avoir r = pq et k = pq' où q /\ q' = 1. Il y
a donc au moins la possibilité de prendre k = p, et l'on construit facilement une solution parmi celles possibles. Ainsi, (1, 2, 3)(4, 5, 6)(7, 8, 9)(10, 11, 12) est la puissance
4 de (1, 4, 7, 10, 3, 6, 9, 12, 2, 5, 8, 11) et de cinq autres, mais aussi la puissance 8 de
(1,4,7, 10, 3, 6,9, 12, 2, 5, 8, 11).
2.4.8 - Si ni i ni j ne sont égaux à 1, {ij} = (li)(lj)( li). Le lecteur informaticien aura
reconnu la procédure pour échanger le contenu de deux variables.
- Contentons-nous d'un exemple qui éclaire le cas général :
(1, 5) = (1, 2)(2, 3)(3, 4)(4, 5)(3, 4)(2, 3)(1, 2)
Vo ir le principe de conjugaison introduit dans l'exercice précédent.
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Théorie des groupes
2.4.6 Une permutation sera d'ordre p ssi c'est un p-cycle ou un composé de p-cycles de
supports disjoints ; de cette façon seulement p sera le ppcm des ordres. Sachant que le nombre
des p-cycles est (p - l) ! Cf,, on trouve au total une expression :
- (p - l) I CP � (p - 1) 1 2 CPC P
� (p - 1) 1 3 CP r,/J cv
a,, -
· ,, +
2 ,
· ,, 11 - p +
3 ,
· 11 \.., i, - p 11 - 2p + · · ·
la somme s'arrêtant à E(n/p) termes au maximum (E désigne la partie entière). On peut
simplifier ce résultat et l'écrire :
Démontrons maintenant que :
n !
a , ,
=
L
p k k !(n - kp) !
O�k�11/p
+oo
L
all .,11
r+,f_
-,1, = e: p
n !
11=0
Le plus direct est de partir du résultat :
:/'
, ,
00
y}<
00 yf'i
00
y}<
e
;<
+
-;; = e:' e -;; = L k ! L �= L b, , k!
k=O
j=O plj
11=0
alors les b, , sont donnés par :
b - r '°' _ 1 _ - '°' n !
-
11 - n. � k! ' ! pi - � ' !p i (n _ ' ) ! - a , ,
k+pj =11 'J
OQ�11/p
}
Pl
Une généralisation : le nombre c,,, 111 des permutations de S, , vérifiant cr
"'
= id vérifie :
L
+oo c ,, .JI
(L x1)
-,1, =e xp
-
n'
d
11=0 '
dlm
2.4.7 Supposons a = (1, ... , r). Alors a
k
(l) = k + 1 (mod r) (en prenant le représentant
qui est dans { 1, ... , r} ). Alors l'image de 1 sera dans un cycle de longueur d, si ( a
k
/ (1) = 1
(mod r), avec d minimum. On trouve donc d = k
�
,.. Comme ce calcul marche bien sûr
pour tous les autres, on en déduit que a
r
est constitué de k /\ r cycles de longueur k
�
,.. En
particulier, les puissances d'un p-cycle sont toujours des p-cycles ( ou id) si p est premier. Ces
calculs sont à mettre en relation avec l'étude des groupes cycliques.
Réciproquement, donnons-nous un produit de p cycles disjoints de longueur q, avec n > pq.
Avec les notations précédentes, on doit avoir r = pq et k = pq' où q /\ q' = 1. Il y
a donc au moins la possibilité de prendre k = p, et l'on construit facilement une solution parmi celles possibles. Ainsi, (1, 2, 3)(4, 5, 6)(7, 8, 9)(10, 11, 12) est la puissance
4 de (1, 4, 7, 10, 3, 6, 9, 12, 2, 5, 8, 11) et de cinq autres, mais aussi la puissance 8 de
(1,4,7, 10, 3, 6,9, 12, 2, 5, 8, 11).
2.4.8 - Si ni i ni j ne sont égaux à 1, {ij} = (li)(lj)( li). Le lecteur informaticien aura
reconnu la procédure pour échanger le contenu de deux variables.
- Contentons-nous d'un exemple qui éclaire le cas général :
(1, 5) = (1, 2)(2, 3)(3, 4)(4, 5)(3, 4)(2, 3)(1, 2)
Vo ir le principe de conjugaison introduit dans l'exercice précédent.
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