2 • Exemples de groupes
• Cas n = 4
1 Structure I Nombre de permutations I Ordre I Parité
1+1+1+1
1
1
paire
2+1+1
6
2
impaire
3+1
8
3
paire
4
6
4
impaire
2+2
3
2
paire
• Casn=5
1 Structure I Nombre de permutations I Ordre I Parité
1+1+1+1+1
1
1
paire
2+1+1+1
10
2
impaire
3+1+1
20
3
paire
4+ 1
30
4
impaire
5
24
5
paire
2+2+1
15
2
impaire
3+2
20
6
paire
• Casn=6
1 Structure
1 Nombre de permutations I Ordre I Parité
1+1+1+1+1+1
1
1
paire
2+1+1+1+1
15
2
impaire
3+1+1+1
40
3
paire
4+1+1
90
4
impaire
5+1
144
5
paire
6
120
6
impaire
2+2+1+1
45
2
paire
2+3+1
120
6
impaire
2+4
90
4
paire
2+2+2
15
2
impaire
3+3
40
3
paire
Quelques explications complémentaires. L'ordre d'un cycle est le ppcm des ordres
de chacun des cycles qui le composent, comme le prouve l'exercice suivant. Pour le
dénombrement, on utilise par exemple que le nombre des p-cycles est (p - l)!Cf., en
comptant les supports possibles, puis les images successives d'un nombre choisi dans
ce support.
51
2.4.5 Soient r; les ordres des cycles c; formant une permutation cr et m leur ppcm. Alors
cr
111 = id parce que c'/' = id et que ces cycles commutent. Réciproquement, si cr P = id, alors
pour chaque i, cf = id. En effet, si x est dans le support de c;, il est invariant par tous les
autres cycles et cr"(x) = cf(x). Comme c;(y) = y quand y n'est pas dans le support de c;, on en
déduit cf = id. Ainsi, p doit être multiple commun des r; . Dans le cas n = 20, il faut chercher
le maximum du ppcm d'une partition de 20. Par tâtonnements, on trouve que c'est 420, issu
de la partition 20 = 1 + 3 + 4 + 5 + 7.
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