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Théorie des groupes
2) Il suffit d'utiliser que tout cycle laisse invariant un entier qui n'est pas dans son support.
3) Prenons une démarche algorithmique. Soit cr une permutation. On cherche l'image de 1,
s'il n'est pas fixe on cherche l'image de cette image jusqu'à retrouver 1. Cela donne un
premier cycle. Puis on prend le plus petit entier qui n'est pas encore apparu ; on cherche son
image ... et cela donne un nouveau cycle, de support disjoint du premier. Il reste à prouver
l'unicité; elle résulte de ce que les supports des cycles sont entièrement déterminés par
cr, car tout cycle contenant un entier doit c�ntenir toutes ses images successives par les
puissances de cr (c'est ici qu'intervient notamment que les supports sont disjoints). Le
même argument montre que le cycle correspondant à ce support est bien déterminé.
4) Cette permutation « renverse l'ordre » des entiers de 1 à n. Elle vérifie cr o cr = id de par sa
définition même. Si n est impair, il y a un nombre invariant
11;1
et cr se décompose en :
n- 1 n+3
cr= (1,n)(2,n - 1)(3,n - 2) ... (2
- , -
2
- )
si n est pair
n n
cr= (1, n)(2, n - 1)(3,n - 2) ... (
2
,
2
+ 1)
2.4.3 On vérifie immédiatement que:
(i 1 , i2,, , , , i,.) = (i 1 , i2)(iz,i 3 ),,, (i,- -
1 ,i,.)
(il y a d'autres solutions, et rappelons que l'on compose de la droite vers la gauche). Comme
toute permutation est composée de cycles, on en déduit que S,, est engendré par les transpositions.
2.4.4 1) Si i =I cr(i k ), pour un entier k, alors cr1
(i) n'est pas dans l'ensemble {i 1 , ••• , i,.}, et
il est fixé par c croc o cr1
(i) = i. Sinon, cr1
(i) = i k , et croc o cr1
(i) = cr(i k+ i ), ou cr(i 1 ) si
k = r . On a bien la relation demandée, facile à retenir, le conjugué de c est un r-cycle mais
portant sur un ensemble« transporté» par cr. On appellera cela principe de conjugaison.
2) Deux permutations sont conjuguées ssi elles ont même structure dans leur décomposition
en cycles. La question précédente, appliquée à un produit de cycles disjoints, le montre. Et
si deux permutations sont de même structure, elles sont conjuguées. Ainsi, (1, 2)(3, 4, 5)
est conjuguée de (i,j)(k, l, m) par toute permutation qui transforme 1 en i, 2 enj, etc.
3) C'est une conséquence de la question précédente, en n'oubliant pas les points invariants.
Ainsi, si n= 7, 7 = 1 + 1 + 2 + 3 correspond à la classe de (1, 2)(3, 4, 5). Le nombre de partitions d'un entier n ne se calcule pas facilement ... On peut, suivant Hardy et Ramanujan,
donner l'équivalent quand n tend vers +oo:
_l_ e n.../2t0
4nv'3
4) Vo ilà le travail ! La« structure» indique les points fixes (chiffre 1) et les r-cycles (autres
chiffres). On a indiqué la parité des permutations (notion définie un peu plus loin).
• Cas n= 3
1 Structure I Nombre de permutations I Ordre I Parité
1+1+1
1
1
paire
2+1
3
2
impaire
3
2
3
paire
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Théorie des groupes
2) Il suffit d'utiliser que tout cycle laisse invariant un entier qui n'est pas dans son support.
3) Prenons une démarche algorithmique. Soit cr une permutation. On cherche l'image de 1,
s'il n'est pas fixe on cherche l'image de cette image jusqu'à retrouver 1. Cela donne un
premier cycle. Puis on prend le plus petit entier qui n'est pas encore apparu ; on cherche son
image ... et cela donne un nouveau cycle, de support disjoint du premier. Il reste à prouver
l'unicité; elle résulte de ce que les supports des cycles sont entièrement déterminés par
cr, car tout cycle contenant un entier doit c�ntenir toutes ses images successives par les
puissances de cr (c'est ici qu'intervient notamment que les supports sont disjoints). Le
même argument montre que le cycle correspondant à ce support est bien déterminé.
4) Cette permutation « renverse l'ordre » des entiers de 1 à n. Elle vérifie cr o cr = id de par sa
définition même. Si n est impair, il y a un nombre invariant
11;1
et cr se décompose en :
n- 1 n+3
cr= (1,n)(2,n - 1)(3,n - 2) ... (2
- , -
2
- )
si n est pair
n n
cr= (1, n)(2, n - 1)(3,n - 2) ... (
2
,
2
+ 1)
2.4.3 On vérifie immédiatement que:
(i 1 , i2,, , , , i,.) = (i 1 , i2)(iz,i 3 ),,, (i,- -
1 ,i,.)
(il y a d'autres solutions, et rappelons que l'on compose de la droite vers la gauche). Comme
toute permutation est composée de cycles, on en déduit que S,, est engendré par les transpositions.
2.4.4 1) Si i =I cr(i k ), pour un entier k, alors cr1
(i) n'est pas dans l'ensemble {i 1 , ••• , i,.}, et
il est fixé par c croc o cr1
(i) = i. Sinon, cr1
(i) = i k , et croc o cr1
(i) = cr(i k+ i ), ou cr(i 1 ) si
k = r . On a bien la relation demandée, facile à retenir, le conjugué de c est un r-cycle mais
portant sur un ensemble« transporté» par cr. On appellera cela principe de conjugaison.
2) Deux permutations sont conjuguées ssi elles ont même structure dans leur décomposition
en cycles. La question précédente, appliquée à un produit de cycles disjoints, le montre. Et
si deux permutations sont de même structure, elles sont conjuguées. Ainsi, (1, 2)(3, 4, 5)
est conjuguée de (i,j)(k, l, m) par toute permutation qui transforme 1 en i, 2 enj, etc.
3) C'est une conséquence de la question précédente, en n'oubliant pas les points invariants.
Ainsi, si n= 7, 7 = 1 + 1 + 2 + 3 correspond à la classe de (1, 2)(3, 4, 5). Le nombre de partitions d'un entier n ne se calcule pas facilement ... On peut, suivant Hardy et Ramanujan,
donner l'équivalent quand n tend vers +oo:
_l_ e n.../2t0
4nv'3
4) Vo ilà le travail ! La« structure» indique les points fixes (chiffre 1) et les r-cycles (autres
chiffres). On a indiqué la parité des permutations (notion définie un peu plus loin).
• Cas n= 3
1 Structure I Nombre de permutations I Ordre I Parité
1+1+1
1
1
paire
2+1
3
2
impaire
3
2
3
paire
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