2 • Exemples de groupes
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Exercice 2.4.13
Soit CJ' un élément de S, , . On suppose que dans sa décomposition en cycles, il y a k; cycles
d'ordre i, k 1 étant le nombre des points fixes.
l) Montrer que :
Il
n= L ik;
i= I
2) On définit :
Cs,, (CJ') = {g ES ,,/ gCJ' = ug}
(centralisateur de CJ'). Montrer que :
Il
Card (Cs,, (CJ')) = II l 1 k; !
i= I
Exercice 2.4.14
Soit s(n, k) le nombre des permutations de S,, qui ont exactement k orbites. Montrer que :
Il
L s(n, k)X
k
= X(X + 1) ... (X + n - 1)
k= I
(ce sont les nombres de Stirling de première espèce). On démontrera et utilisera la relation de
récurrence :
s(n + 1,k) = s(n, k- 1) +n s(n, k)
SOLUTIONS
2.4.1 S 1 est le groupe trivial, S 2 contient l'identité et la bijection échangeant 1 et 2, qui est
d'ordre 2, il est bien sûr isomorphe au groupe cyclique Z/2. Quant à S 3 , il a six éléments.
C'est le groupe à six éléments qui n'est pas commutatif, voir 1.1.18. Il contient trois éléments
d'ordre 2, les trois permutations qui échangent deux nombres et laissent fixe le troisième,
deux éléments d'ordre 3:
( 1 2 3 )
CJ' =
2 3 1
ainsi que l'identité.
2
= ( 1 2 3 )
3 1 2
2.4.2 1) Une récurrence immédiate montre que :
pour k:;,:;; r
{ C k (Ï,) = Ïk+I
c k (i,) = Ïk+l - r
sik+l:;,:;;r
sik+l>r
On en déduit que pour ces valeurs de k, c k = e seulement si k = r. Un r-cycle est bien
d'ordre r. On peut choisir d'écrire c = (i 2 , ••• , i,., ii ), etc. Il y a donc r façons d'écrire un
cycle de support donné. On convient en général de mettre en tête le plus petit élément du
support.
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