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Exercice 2.4.8
Montrer que S,, est engendré par chacun des ensembles suivants :
- les transpositions du type ( l, i) ;
- les transpositions du type (i, i + 1) ;
- le cycle u = (1, 2, ... , n) et la transposition (1, 2).
Exercice 2.4.9
Théorie des groupes
Est-ce que u = (1, 2, ... , n) et une transposition quelconque engendrent S,, ? On constatera
que c'est faux pour n = 4, et on pourra montrer que c'est vrai lorsque n est premier.
La signature est un outil très important pour l'étude des permutations. Elle intervient
chaque fois qu'une transposition de deux éléments amène un changement de signe, par
exemple dans la théorie des déterminants en algèbre linéaire.
Exercice 2.4.10 (Signature)
l) Montrer que :
(ab)(ax 1X2 ,, , XkbY1Y2 ,, · YI ) = (ax 1 x 2 ,, , Xk)(bY1Y2 ,, · YI )
(ab)(ax 1 , , , Xk)(by1 , , , Y1 ) = ( a. xi , , , XkbY1 , , , Y1 )
en supposant que tous les éléments qui interviennent sont distincts.
2) On définit une application, nommée signature de S,, dans { -1, 1} par :
e(u) = (- 1)"- k
où k est le nombre de cycles augmenté du nombre de points fixes de u. Ce nombre k
s'appelle le nombre d'orbites de u : c'est le nombre des orbites dans l'action de (u) sur
l'ensemble { l .. n}, voir le chapitre suivant. Ainsi, si u est une transposition, k = l + (n - 2)
car il y a un 2-cycle et n - 2 points fixes. La signature d'une transposition est alors -1.
Montrer que la signature est un morphisme.
3) Lorsque la signature est l, on dit que la permutation est paire, impaire sinon. Quelle est la
parité d'un r-cycle ? Comment trouver la parité connaissant la décomposition en cycles ?
4) On appelle groupe alterné le noyau de la signature ; c'est donc un sous-groupe distingué
d'indice 2 de S,,. On le note A,, . Montrer qu'il est engendré par les 3-cycles (pour n > 2).
5) Démontrer que A,, est aussi engendré par les 3-cycles de la forme (1 , 2, i).
Exercice 2.4.1 1
Détailler le groupe alterné Ai ; en préciser notamment les sous-groupes. Lesquels sont normaux dans À4 ?
Exercice 2.4.12
Montrer que le centre de S,, est réduit à id pour n > 2.
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Exercice 2.4.8
Montrer que S,, est engendré par chacun des ensembles suivants :
- les transpositions du type ( l, i) ;
- les transpositions du type (i, i + 1) ;
- le cycle u = (1, 2, ... , n) et la transposition (1, 2).
Exercice 2.4.9
Théorie des groupes
Est-ce que u = (1, 2, ... , n) et une transposition quelconque engendrent S,, ? On constatera
que c'est faux pour n = 4, et on pourra montrer que c'est vrai lorsque n est premier.
La signature est un outil très important pour l'étude des permutations. Elle intervient
chaque fois qu'une transposition de deux éléments amène un changement de signe, par
exemple dans la théorie des déterminants en algèbre linéaire.
Exercice 2.4.10 (Signature)
l) Montrer que :
(ab)(ax 1X2 ,, , XkbY1Y2 ,, · YI ) = (ax 1 x 2 ,, , Xk)(bY1Y2 ,, · YI )
(ab)(ax 1 , , , Xk)(by1 , , , Y1 ) = ( a. xi , , , XkbY1 , , , Y1 )
en supposant que tous les éléments qui interviennent sont distincts.
2) On définit une application, nommée signature de S,, dans { -1, 1} par :
e(u) = (- 1)"- k
où k est le nombre de cycles augmenté du nombre de points fixes de u. Ce nombre k
s'appelle le nombre d'orbites de u : c'est le nombre des orbites dans l'action de (u) sur
l'ensemble { l .. n}, voir le chapitre suivant. Ainsi, si u est une transposition, k = l + (n - 2)
car il y a un 2-cycle et n - 2 points fixes. La signature d'une transposition est alors -1.
Montrer que la signature est un morphisme.
3) Lorsque la signature est l, on dit que la permutation est paire, impaire sinon. Quelle est la
parité d'un r-cycle ? Comment trouver la parité connaissant la décomposition en cycles ?
4) On appelle groupe alterné le noyau de la signature ; c'est donc un sous-groupe distingué
d'indice 2 de S,,. On le note A,, . Montrer qu'il est engendré par les 3-cycles (pour n > 2).
5) Démontrer que A,, est aussi engendré par les 3-cycles de la forme (1 , 2, i).
Exercice 2.4.1 1
Détailler le groupe alterné Ai ; en préciser notamment les sous-groupes. Lesquels sont normaux dans À4 ?
Exercice 2.4.12
Montrer que le centre de S,, est réduit à id pour n > 2.
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