2 • Exemples de groupes
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éléments images l'un de l'autre par un automorphisme intérieur. C'est clairement une
relation d'équivalence. De façon intuitive, deux permutations sont conjuguées si elles
représentent la même transformation à une bijection de { 1, 2, ... , n} près (à un « changement de repère près » ). La notion de conjugaison sera approfondie et généralisée dès
le chapitre suivant.
Exercice 2.4.4
1) On note c = (i 1 , i2, ... , i,.) un cycle de longueur r. Étant donné O' élément quelconque de
S 11 , montrer que
O' o CO O'- I = (O'(i 1 ), O'(Ï 2 ),. , , , O'(i,.))
2) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que deux permutations soient conjuguées.
3) Montrer que le nombre de classes de conjugaison de S 11 est égal au nombre des partitions
de n, i.e. le nombre de façons d'écrire n comme somme d'entiers.
4) Détailler les classes de conjugaison de S 11 quand n = 2, 3, 4, 5 en précisant l'ordre de
chaque élément.
La décomposition en cycles permet également d'étudier l'ordre des éléments d'un groupe
symétrique.
Exercice 2.4.5
Quel est l'ordre d'une permutation dont on connaît la décomposition en cycles? Quel est
l'ordre maximal d'un élément de S2 0 ?
Exercice 2.4.6
Si p est premier, décrire tous les éléments d'ordre p du groupe S 11 • Les dénombrer. Si a,. est
leur nombre, on pourra démontrer que
+oc
'"'
a "x' = � + f
L..t n!
11=0
Exercice 2.4.7 (Étude des puissances d'un cycle)
Soit O' un r-cycle, montrer que O'
k
est un cycle ou un produit de cycles de même taille. Déterminer alors cette taille. Réciproquement, si une permutation est produit de cycles disjoints de
même taille, montrer que c'est la puissance d'un cycle.
Le groupe symétrique est engendré par les transpositions, mais ce n'est pas la seule
possibilité.
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éléments images l'un de l'autre par un automorphisme intérieur. C'est clairement une
relation d'équivalence. De façon intuitive, deux permutations sont conjuguées si elles
représentent la même transformation à une bijection de { 1, 2, ... , n} près (à un « changement de repère près » ). La notion de conjugaison sera approfondie et généralisée dès
le chapitre suivant.
Exercice 2.4.4
1) On note c = (i 1 , i2, ... , i,.) un cycle de longueur r. Étant donné O' élément quelconque de
S 11 , montrer que
O' o CO O'- I = (O'(i 1 ), O'(Ï 2 ),. , , , O'(i,.))
2) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que deux permutations soient conjuguées.
3) Montrer que le nombre de classes de conjugaison de S 11 est égal au nombre des partitions
de n, i.e. le nombre de façons d'écrire n comme somme d'entiers.
4) Détailler les classes de conjugaison de S 11 quand n = 2, 3, 4, 5 en précisant l'ordre de
chaque élément.
La décomposition en cycles permet également d'étudier l'ordre des éléments d'un groupe
symétrique.
Exercice 2.4.5
Quel est l'ordre d'une permutation dont on connaît la décomposition en cycles? Quel est
l'ordre maximal d'un élément de S2 0 ?
Exercice 2.4.6
Si p est premier, décrire tous les éléments d'ordre p du groupe S 11 • Les dénombrer. Si a,. est
leur nombre, on pourra démontrer que
+oc
'"'
a "x' = � + f
L..t n!
11=0
Exercice 2.4.7 (Étude des puissances d'un cycle)
Soit O' un r-cycle, montrer que O'
k
est un cycle ou un produit de cycles de même taille. Déterminer alors cette taille. Réciproquement, si une permutation est produit de cycles disjoints de
même taille, montrer que c'est la puissance d'un cycle.
Le groupe symétrique est engendré par les transpositions, mais ce n'est pas la seule
possibilité.
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