46
Th éorie des groupes
4) Pour m = 1, les relations c
2
= 1, c = b
2
, bcb- 1 = c1
impliquent que le groupe est
engendré par un élément b tel que b
4
= 1. On reconnaît le groupe cyclique Z/4. Pour
m = 2, c'est le groupe quaternionique à huit éléments. Enfin, pour m = 3, c'est le groupe
T rencontré dans l'exercice 1.1.21.
2.4 GROUPES DE PERMUTATIONS
On note S,, 1' ensemble des bijections de { 1, 2, ... , n} dans lui-même ; ses éléments
sont aussi appelés permutations. Les groupes de permutations sont également appelés groupes symétriques. Ils sont à l'origine de la création de la théorie des groupes ;
Évariste Galois les a introduits en étudiant les permutations des racines d'une équation
polynomiale.
La convention que nous appliquons pour le produit de permutations est la convention
habituelle de la composition d'applications; on écrira parfois CJ' T pour u oT. Une permutation u peut-être représentée de la façon suivante:
(1 2 3 4)
CJ'=
2 3 1 4
expression qui signifie que u(l) = 2, u(2) = 3, u(3) = 1 et u(4) = 4.
Exercice 2.4.1
Reconnaître les groupes symétriques S 1 , S 2 , et S3 .
Exercice 2.4.2 {Décomposition en cycles)
1) On appelle r-cycle, où r E {2, 3, ... , n }, une permutation c telle qu'il existe U 1 , i 2 , ... , i,.)
entiers distincts pris dans { 1, 2, ... , n} et tels que :
c(i1 ) = i 2 , c(i 2 ) = i3, ... , c(i,.) = i 1
tous les autres entiers étant invariants. Le r-cycle c est noté c = (i1 , i 2 , ... , i,.) et s'appelle
aussi une permutation circulaire. Démontrer qu'un r-cycle est d'ordre r.
2) On appelle support du r-cycle c l'ensemble des entiers {i 1 , i 2 , ... , i,.}. Démontrer que si
deux cycles ont des supports disjoints, alors ils commutent.
3) Démontrer que toute permutation est composée de façon unique de cycles de supports
disjoints. On conviendra que l'identité est composée de O cycle.
4) Un exemple, soit u la permutation de { 1, 2, ... , n} définie par, u(i) = n + 1 - i. Donner sa
décomposition en cycles.
Exercice 2.4.3
Démontrer que le r-cycle c = (i1 , i2 , . . . , i,.) est composé de r - 1 2-cycles. En déduire que S,,
est engendré par les 2-cycles (appelés transpositions).
Parlons maintenant de la conjugaison des permutations. On dit que u et u' sont conjuguées s'il existe une permutation p telle que u' =pou o p- 1 • Autrement dit, ce sont des
www.bibliomath.com
Th éorie des groupes
4) Pour m = 1, les relations c
2
= 1, c = b
2
, bcb- 1 = c1
impliquent que le groupe est
engendré par un élément b tel que b
4
= 1. On reconnaît le groupe cyclique Z/4. Pour
m = 2, c'est le groupe quaternionique à huit éléments. Enfin, pour m = 3, c'est le groupe
T rencontré dans l'exercice 1.1.21.
2.4 GROUPES DE PERMUTATIONS
On note S,, 1' ensemble des bijections de { 1, 2, ... , n} dans lui-même ; ses éléments
sont aussi appelés permutations. Les groupes de permutations sont également appelés groupes symétriques. Ils sont à l'origine de la création de la théorie des groupes ;
Évariste Galois les a introduits en étudiant les permutations des racines d'une équation
polynomiale.
La convention que nous appliquons pour le produit de permutations est la convention
habituelle de la composition d'applications; on écrira parfois CJ' T pour u oT. Une permutation u peut-être représentée de la façon suivante:
(1 2 3 4)
CJ'=
2 3 1 4
expression qui signifie que u(l) = 2, u(2) = 3, u(3) = 1 et u(4) = 4.
Exercice 2.4.1
Reconnaître les groupes symétriques S 1 , S 2 , et S3 .
Exercice 2.4.2 {Décomposition en cycles)
1) On appelle r-cycle, où r E {2, 3, ... , n }, une permutation c telle qu'il existe U 1 , i 2 , ... , i,.)
entiers distincts pris dans { 1, 2, ... , n} et tels que :
c(i1 ) = i 2 , c(i 2 ) = i3, ... , c(i,.) = i 1
tous les autres entiers étant invariants. Le r-cycle c est noté c = (i1 , i 2 , ... , i,.) et s'appelle
aussi une permutation circulaire. Démontrer qu'un r-cycle est d'ordre r.
2) On appelle support du r-cycle c l'ensemble des entiers {i 1 , i 2 , ... , i,.}. Démontrer que si
deux cycles ont des supports disjoints, alors ils commutent.
3) Démontrer que toute permutation est composée de façon unique de cycles de supports
disjoints. On conviendra que l'identité est composée de O cycle.
4) Un exemple, soit u la permutation de { 1, 2, ... , n} définie par, u(i) = n + 1 - i. Donner sa
décomposition en cycles.
Exercice 2.4.3
Démontrer que le r-cycle c = (i1 , i2 , . . . , i,.) est composé de r - 1 2-cycles. En déduire que S,,
est engendré par les 2-cycles (appelés transpositions).
Parlons maintenant de la conjugaison des permutations. On dit que u et u' sont conjuguées s'il existe une permutation p telle que u' =pou o p- 1 • Autrement dit, ce sont des
www.bibliomath.com