2 • Exemples de groupes
45
représentation qui ressemble à celle vue dans l'exercice précédent, et que nous retrouverons
dans l'exercice suivant; enfin, on peut aussi écrire:
(
0 -1
.
1 0
P--+
0 0
0 0
0
0
0
-1
en utilisant la version matricielle des nombres complexes.
0
0
0
-1
1 0)
0 1
0 0
0 0
2.3.4 Montrons que la première relation se déduit des deux autres. Puisque b
2
= a
2
" - 2
, b
commute avec a
2
" - 2 • On a donc
(bab - 1
)
211 - 2 = b a
211 - 2 b - 1 = a
211 - 2 = a211 - 2
::::} a
211 - 1 = 1
Il est facile de voir que le groupe Ga au plus 2
11
éléments qui sont ceux du groupe cyclique ( a )
et ceux de la forme b a
k
où k va de O à 2
11 - 1 - 1. En effet, b ab- 1 = a- 1 implique b a
k
= ak b
et, par ailleurs, b
2
= a
2
" - 2 • On vérifie aisément que les matrices A et B satisfont les relations
A
2
" - I = I, B
2
= A
2
" - 2
( = -/), BAB1
= A - 1
• Comme ce groupe de matrices admet 2
11
éléments, le théorème de Vo n Dyck assure qu'on a modélisé les groupes quaternioniques.
Pour être plus précis, avec ce modèle,
et, en particulier, B
2
= A
2
" -
2
= -/. Cherchons les éléments d'ordre 2; (ba
k
)
2
= b a
k b a
k
=
b a
k
ak b = b
2
, tous ces éléments sont d'ordre 4. Le seul élément d'ordre 2 est donc à chercher
dans ( a ), c'est a
2
"2
= b
2
. Quant au centre, cherchons si a
k
commute avec b a
k '
b a
k ' a
k
= a
k b a
k ' {::::::: ba
k+k ' = b a
k ' - k
seul donc convient a
2
" -
2
= b
2
. On vérifie également qu'aucun élément de la forme b a
k
n'est
dans le centre qui est donc réduit à deux éléments. Pour identifier le quotient de 1HI 2 , . par son
centre Z(IHI 2 .. ), utilisons la présentation, les classes a et b vérifient :
-2 "
-2 -2
- _ -- 1 - - 1
a = b = 1, b a b = a
on reconnaît la présentation du groupe diédral, ][)) 2 .. - ,, (qui a le bon nombre d'éléments).
2.3.5 1) Observons d'abord que a = be et donc b
2
= bebe d'où beb - 1 = e- 1 . Faisons
ensuite le calcul suivant :
e
"'
= b
2
= bb
2 b - 1 = bc'" b - 1 = (beb - 1
)
111
= e111
On en déduit e
2"'
= b
4
= e, et que le groupe dicyclique admet la présentation :
G = (b ,e I e
2
"' = 1, c'" = b
2
, beb - 1 = e - 1 )
Dans le cas où m est une puissance de 2, on retrouve les groupes quaternioniques.
2) En s'inspirant de l'exercice précédent, une liste exhaustive des 4m éléments de G sera:
1, e, e
2 , ••• , e
2 "'1 , b , be, ... , be
2"' - 1
3) Pour une version matricielle, prenons
où w est une racine primitive 2m-ième de l'unité.
www.bibliomath.com
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représentation qui ressemble à celle vue dans l'exercice précédent, et que nous retrouverons
dans l'exercice suivant; enfin, on peut aussi écrire:
(
0 -1
.
1 0
P--+
0 0
0 0
0
0
0
-1
en utilisant la version matricielle des nombres complexes.
0
0
0
-1
1 0)
0 1
0 0
0 0
2.3.4 Montrons que la première relation se déduit des deux autres. Puisque b
2
= a
2
" - 2
, b
commute avec a
2
" - 2 • On a donc
(bab - 1
)
211 - 2 = b a
211 - 2 b - 1 = a
211 - 2 = a211 - 2
::::} a
211 - 1 = 1
Il est facile de voir que le groupe Ga au plus 2
11
éléments qui sont ceux du groupe cyclique ( a )
et ceux de la forme b a
k
où k va de O à 2
11 - 1 - 1. En effet, b ab- 1 = a- 1 implique b a
k
= ak b
et, par ailleurs, b
2
= a
2
" - 2 • On vérifie aisément que les matrices A et B satisfont les relations
A
2
" - I = I, B
2
= A
2
" - 2
( = -/), BAB1
= A - 1
• Comme ce groupe de matrices admet 2
11
éléments, le théorème de Vo n Dyck assure qu'on a modélisé les groupes quaternioniques.
Pour être plus précis, avec ce modèle,
et, en particulier, B
2
= A
2
" -
2
= -/. Cherchons les éléments d'ordre 2; (ba
k
)
2
= b a
k b a
k
=
b a
k
ak b = b
2
, tous ces éléments sont d'ordre 4. Le seul élément d'ordre 2 est donc à chercher
dans ( a ), c'est a
2
"2
= b
2
. Quant au centre, cherchons si a
k
commute avec b a
k '
b a
k ' a
k
= a
k b a
k ' {::::::: ba
k+k ' = b a
k ' - k
seul donc convient a
2
" -
2
= b
2
. On vérifie également qu'aucun élément de la forme b a
k
n'est
dans le centre qui est donc réduit à deux éléments. Pour identifier le quotient de 1HI 2 , . par son
centre Z(IHI 2 .. ), utilisons la présentation, les classes a et b vérifient :
-2 "
-2 -2
- _ -- 1 - - 1
a = b = 1, b a b = a
on reconnaît la présentation du groupe diédral, ][)) 2 .. - ,, (qui a le bon nombre d'éléments).
2.3.5 1) Observons d'abord que a = be et donc b
2
= bebe d'où beb - 1 = e- 1 . Faisons
ensuite le calcul suivant :
e
"'
= b
2
= bb
2 b - 1 = bc'" b - 1 = (beb - 1
)
111
= e111
On en déduit e
2"'
= b
4
= e, et que le groupe dicyclique admet la présentation :
G = (b ,e I e
2
"' = 1, c'" = b
2
, beb - 1 = e - 1 )
Dans le cas où m est une puissance de 2, on retrouve les groupes quaternioniques.
2) En s'inspirant de l'exercice précédent, une liste exhaustive des 4m éléments de G sera:
1, e, e
2 , ••• , e
2 "'1 , b , be, ... , be
2"' - 1
3) Pour une version matricielle, prenons
où w est une racine primitive 2m-ième de l'unité.
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